Base ortonormal, descompensar y volver a sumar

Question

Esta es una pregunta algo estúpida y me estoy arriesgando de obtener algunos votos negativos aquí, pero, no puedo resistir publicarla. Supongamos que $(u_1, u_2)$ es una base ortonormal para $R^2$ , y que $x$ sea un vector arbitrario en $R^2$ , entonces podemos descomponer $x$ proyectando en $u_1, u_2$ es decir

\begin{align*} (u_1^T x) u_1 \\ (u_2^T x) u_2 \\ \end{align*}

Ciertamente tenemos

\begin{align*} x = (u_1^T x) u_1 + (u_2^T x) u_2 \end{align*}

Parece un problema sencillo, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Por definición de una base $\exists \; a,b \in \mathbb{R} : \; x = a u_1 + b u_2$ .

Ahora $(x,u_1)=(au_1+bu_2,u_1) = (a u_1 , u_1 ) + (b u_2, u_1) = a(u_1 , u_1 ) + b(u_2, u_1) = a$

Lo mismo para $b$ .

Answer 2

Consideremos una situación más general. Supongamos que $\{v_1,v_2,\dots,v_k\}$ es una base ortogonal para un espacio vectorial $V$ y $w$ es cualquier vector en $V$ . Así que hay escalares únicos $c_1,c_2,\dots,c_k$ tal que $$ w=c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k. $$ Consideremos el producto interior $$ (w,v_i)=(c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k,v_i)=(c_iv_i,v_i)=c_i(v_i,v_i) $$ desde $(v_i,v_j)=0,\ \forall i\ne j$ . Por lo tanto, el coeficiente $c_i$ tiene la forma $$c_i=\frac{(w,v_i)}{(v_i,v_i)}. $$

En su pregunta, sabemos que $i=1,2$ y $(v_i,v_i)=1$ y $(x,v_i)=x^Tv_i$ .