Yo quiero probar el siguiente resultado:
Deje $R$ ser un anillo y $M$ un ideal maximal en $R$. Si $P$ es un alojamiento ideal en $R[x]$ que es (estrictamente) contiene $M[x]$, $P$ es un ideal maximal en $R[x]$.
Tengo una idea de cómo probar que, pero no estoy muy seguro de si el argumento es totalmente válido; tal vez alguien tiene un limpiador de prueba. Mi argumento es así:
- $R[x]/M[x]$ es isomorfo a $(R/M)[x]$, que es un PID (desde $R/M$ es un campo). Por lo tanto, cualquier primer ideal en este anillo es máxima;
- Si $P$ contiene $M[x]$, $P$ corresponde a un (prime??) ideal en $R[x]/M[x]$ (esto necesita más aclaración);
- El primer ideal (que corresponde a $P$) $R[x]/M[x]$ entonces es máxima, y esto garantiza que el $P$ es máxima en $R[x]$.
Apreciaré cualquier comentario.
