Es $g(X|Y=y)$ equivalente a $g(X)|Y=y$ ?

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias con pdfs marginales $f_X(x)$ y $f_Y(y)$ , respectivamente, y el pdf conjunto $f_{X,Y}(x,y)$ . Entonces, para todos los $y$ tal que $f_Y(y) \neq 0$ definir la función $$f_{X|Y=y}(x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}. \hspace{1cm} (*)$$

Así, para cada valor fijo de $y$ , $f_{X|Y=y}(x)$ es una función de $x$ . Ahora dejemos que $X|Y=y$ denota la variable aleatoria con la pdf anterior y deja que $g$ denotan alguna función arbitraria. Mi pregunta (que puede parecer bastante trivial) se refiere a la notación:

$$ \text{Are the random variables }\; g(X|Y=y) \;\text{ and }\; g(X)|Y=y \; \text{equivalent?} $$

(Aquí, $g(X)|Y=y$ se define de forma análoga a $(*)$ : Dejemos que $Z = g(X)$ . Entonces $(g(X)|Y=y) = (Z|Y=y)$ es la variable aleatoria con pdf $\frac{f_{Z,Y}(z,y)}{f_Y(y)},$ donde $f_{Z,Y}(z,y)$ denota la distribución conjunta de $Z$ y $Y$ .) Suponiendo que las variables aleatorias sean equivalentes, ¿es porque las dos notaciones son equivalentes? ¿O podemos demostrar que estas dos variables aleatorias son equivalentes? (Tal vez esté pensando demasiado en esto...)

Answer 1

Bien, tienes el vector $(X,Y)$ con pdf conjunto (para que los marginales tengan también pdf, debido a Fubini). Entonces se puede encontrar la distribución condicional de $X$ dado $Y$ Es decir $\mathbb P(X \in \cdot | Y)$ . Sea $\mu(\cdot | Y)$ denotan la distribución condicional $X|Y$ (es decir $\mu(A|Y) = \mathbb P(X \in A | Y)$ se puede demostrar que es absolutamente continua por lo que su densidad $f_{X|Y}$ existe). Ahora, tome cualquier $g$ que es un difeomorfismo (de modo que para una variable aleatoria absolutamente continua $Z$ , $g \circ Z$ sigue siendo absolutamente continua). Denote $Z_y$ la variable aleatoria con $\mu(\cdot | y)$ distribución. Usted pregunta, si $g \circ Z_y$ tiene la distribución $\nu(\cdot | y)$ donde $\nu(A|Y) = \mathbb P(g(X) \in A | Y)$ .

Tenemos $\mathbb P( g(Z_y) \in A) = \mathbb P(Z_y \in g^{-1}(A)) = \mu(g^{-1}(A) | y)$ .

Además $\nu(A|Y) = \mathbb P(g(X) \in A|Y) = \mathbb P(X \in g^{-1}(A) | Y) = \mu(g^{-1}(A)|Y)$ Así que $\nu(A|y) = \mu(g^{-1}(A)|y)$

Eso es, $g(Z_y)$ tiene $\nu(\cdot | y)$ distribución, que por definición es la distribución de $g(X)$ dado $Y=y$

Answer 2

En la teoría de la probabilidad no existe el concepto de "variable aleatoria condicional". Se puede decir "PDF condicional de $g(X)$ dado $Y=y$ ", pero no "variable aleatoria condicional $g(X|Y=y)$ ". Ambos $g(X|Y=y)$ y $g(X)|Y=y$ son no variables aleatorias, y si se escriben tal cual, sin contexto, son un abuso de la notación.