Encuentre $ED$ en el triángulo $ABC$

Question

$AB = 6$ , $AB \| EG$ , $BC = 8$ , $AC = 10$

Sólo tengo esto:

A partir de aquí, sabemos $BF =FG, AF=DA, GC=DC, OG=OF=OD$ También $$\frac{6}{GE}=\frac{8}{GC}=\frac{10}{EC}$$

Y, podemos ver $$\frac{OG}{OC} = \frac{GC}{EC} \implies OG = \frac{4}{5}OE$$

Del mismo $$\frac{4}{5}EC=CG=DC=EC - ED \implies DE =\frac{1}{5}EC$$

Answer 1

El radio $r$ del círculo inscrito en la derecha $\Delta ABC$ con patas $AB=6$ , $BC=8$ y la hipotenusa $AC=10$ viene dada por $$r=\frac{\text{Area}}{\text{semi-perimeter}}=\frac{\frac12(6)(8)}{\frac{1}{2}(6+8+10)}=2\implies OG=OF=GB=r=2$$ $$CG=CB-GB=8-2=6\implies CD=CG=6$$

En triángulos rectos similares $\Delta EGC\sim \Delta ABC$ , $$\frac{CE}{CA}=\frac{CG}{CB}\implies \frac{CD+DE}{10}=\frac{6}{8}$$ $$\frac{6+DE}{10}=\frac68\implies DE=\frac32$$ $$\boxed{\color{blue}{ED=\frac32}}$$

Answer 2

HInt: $$AB = 6,BC = 8,AC = 10\\AC^2=BC^2+AB^2\\10^2=6^2+8^2$$ SO $$\triangle ABC$$ Es ángulo recto, $\widehat{B}=90$ Si se traza una línea $OF$ puis $BGOF$ es un rectángulo así que, $ BF =FG$
entonces para $OG=OF=OD$ son el radio del círculo .

después de eso

$GA,HA$ son tangentes al círculo, por lo que $$OH=OG=R\\H=G=90\\OA=OA \\\to \triangle AOG=\triangle AOH \Longrightarrow AG=AH$$

Answer 3

Dejemos que $BC=8=a$ , $AC=10=b$ , $|AB|=6=c$ , $\angle BAC=\angle GEC=\alpha$ .

Desde $b^2=a^2+c^2=100$ , $\angle CBA=\angle CGE=90^\circ$ .

Inradio del triángulo rectángulo $r=\tfrac12(a+c-b)=2$ .

\begin{align} |ED|&= r\,\cot\alpha =r\cdot\frac ca =\frac32 . \end{align}