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Al derivar el Hamiltoniano de la densidad de Lagrange, usamos la fórmula $$ \mathcal {H} ~=~ \pi \dot { \phi } - \mathcal {L}.$$ Pero ya que estamos considerando el espacio y el tiempo como parámetros, ¿por qué la fórmula $$ \mathcal {H} ~=~ \pi_ { \mu } \partial ^{ \mu } \phi - \mathcal {L}$$ no se utiliza?
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¿Hay algún libro o notas de conferencias en particular que traten este tipo de temas en la física teórica, me encantaría conocerlos?
Respuestas
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La respuesta de Vladimir tiene la esencia correcta pero también es engañosa, así que déjame aclararlo.
La fórmula $$ H = \sum_i p_i \dot q_i - L $$ relacionar el hamiltoniano y el lagrangiano es completamente general. Se sostiene en todas las teorías que admiten tanto a los Lagrangianos como a los Hamiltonianos, sean relativistas o no, tengan o no otra simetría aparte de la de Lorentz.
Cuando se tiene la teoría de campo, tanto el Hamiltoniano como el Lagrangiano pueden ser escritos como integrales espaciales de sus densidades. $$ H = \int d^3x \, { \mathcal H}, \quad L = \int d^3x\, { \mathcal L} $$ Combinando eso con la primera fórmula, obtenemos la relación $$ \mathcal {H} = \sum_i\pi_i \dot { \phi_i } - \mathcal {L} $$ Ahora, usted propuso una fórmula diferente y supongo que la razón por la que la propuso es que le parece más invariable a Lorentz, como apropiado para las teorías de campo de Lorentz. Esa es una buena motivación.
Sin embargo, lo que está mal en su razonamiento es la suposición de que tanto la densidad Hamiltoniana como la Lagrangiana son invariantes de Lorentz. Mientras que la densidad Lagrangiana es un buen escalar, por lo que es la variante de Lorentz (la densidad en el origen, por lo menos), y es porque la integral de ella es la acción de la variante de Lorentz que debería ser estacionaria, lo mismo no es cierto para el Hamiltoniano y su densidad.
El Hamiltoniano está intrínsecamente ligado a la dirección del tiempo: es el generador de las traducciones en el tiempo (las contrapartes espaciales del Hamiltoniano son los componentes espaciales del momento); es la energía, el 0º componente de un 4-vector, $H \equiv p^0$ . Así que el argumento de que esta fórmula debería ser la variante de Lorentz es inválido, su fórmula propuesta es errónea, y la fórmula correcta estaba justificada al principio de mi comentario.
Stefano
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Lubos Motl y Vladimir Kalitvianski ya han dado respuestas convencionales correctas sobre la La transformación de Legendre desde el formalismo Lagrangiano al Hamiltoniano.
Sin embargo, parece apropiado mencionar que la segunda ecuación de OP(v2)
$$ \mathcal {H} ~=~ \pi_ { \mu } \partial ^{ \mu } \phi - \mathcal {L}$$
es precisamente el punto de partida para La teoría de Donder-Weyl que introduce los polimomentos.
En cuanto al formalismo hamiltoniano manifiestamente covariante, véase también, por ejemplo, el Ref. 1 y este El puesto de Phys.SE.
Referencias:
- C. Crnkovic y E. Witten, Descripción covariante del formalismo canónico en las teorías geométricas. Publicado en Trescientos años de gravitación (Eds. S. W. Hawking y W. Israel), (1987) 676.
David J. Sokol
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El tiempo juega un papel particular, incluso en la relatividad. Las coordenadas de tiempo y espacio ("longitudes") no son intercambiables. En otras palabras, no hay una simetría completa entre ellas a pesar de que pueden transformarse juntas. Así que aplicamos una fórmula habitual para construir un Hamiltoniano si se conoce el Lagrangiano correspondiente.
Por cierto, el formalismo Hamiltoniano en QFT es tan invariante relativista como el formalismo Lagrangiano; el primero no es una invariante manifiesta contraria al segundo.
Aaron Traas
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Otra referencia a ese enfoque (un documento breve):
Mecánica Hamiltoniana de Campos R. H. Bien, Jr. Departamento de Física, Universidad de California, Berkeley, California http://prola.aps.org/abstract/PR/v93/i1/p239_1
de lo abstracto:
En la mecánica de campo relativista se introduce normalmente la derivada temporal de una componente de campo como su velocidad y la derivada parcial de la densidad de Lagrange con respecto a la velocidad como su momento canónicamente conjugado. Para tratar el tiempo y el espacio de forma equivalente, Born y Weyl trataron una vez las cuatro derivadas espacio-temporales de una componente de campo como cuatro velocidades e introdujeron las cuatro derivadas parciales de la densidad de Lagrange con respecto a las velocidades como cuatro momentos. En el presente documento esta idea se lleva más allá para introducir las generalizaciones de las ideas de mecánica puntual de las ecuaciones Hamiltonianas, los corchetes de Lagrange, los corchetes de Poisson y las integrales de movimiento.
