Cómo mostrar $ \lim_{n\to \infty} ||f*\gamma_n - f||_1 = 0, \quad \forall f\in L^1(\mathbb{R}) $ donde $\int_{-\infty}^\infty\gamma_n(t)dt = 1$ ?

Question

Dejemos que $\gamma_n$ sea una función no negativa en $L^1(\mathbb{R})$ tal que $\gamma_n = 0$ en el exterior $[-1/n,1/n]$ y $\int_{-\infty}^\infty\gamma_n(t)dt = 1$ . Quiero demostrar que $$ \lim_{n\to \infty} ||f*\gamma_n - f||_1 = 0, \quad \forall f\in L^1(\mathbb{R}), $$ que es esencialmente mostrar que la función delta de Dirac es una identidad para la convolución en $L^1(\mathbb{R})$ .

En el caso de que $f\in C(\mathbb{R})$ y adopto una forma explícita para $\gamma_n$ como por ejemplo $\gamma_n = 2/n$ Puedo demostrar que $\lim_{n\to \infty} \int f(\tau)\gamma_n(t-\tau)d\tau = f(t)$ de forma bastante sencilla utilizando el teorema del valor medio. Pero ¿cómo podemos demostrarlo en el $L^1(\mathbb{R})$ ¿caso?

Answer 1

Como has dicho, esto es fácil para las funciones continuas (con soporte compacto, digamos, para quedarse en $L^1(\mathbb R)$ ). Pero estas funciones son densas en $L^1(\mathbb R)$ y los operadores $T_(f)= \gamma_n\ast f$ están uniformemente acotados. La desigualdad del triángulo da entonces para un $\varepsilon$ -aproximación $g$ de $f$ $$ \|T_n(f)-f\|\le \|T_n(f-g)+T_n(g)-g+(g-f)\| \le \|T_n\|\|f-g\|+\|T_n(g)-g\|+\|g-f\|\le (c+1)\varepsilon $$ para $n\to\infty$ .