Forma bilineal simétrica $G\times G\to \mathbb{Z}_{2}$

Question

Vamos a $G$ es un grupo abeliano finito (tal que para cualquier $x\in G$ $x+x=0$ es decir $G=\mathbb{Z}_{2}^{\oplus k}$ para algunos $k\in\mathbb{N}$ ) y $(\cdot,\cdot):G\times G\to \mathbb{Z}_{2}$ es una forma bilineal simétrica.

Sepa que: $$(a, m)=0,$$ $$(a, p)=1,$$ $$(b, m)=1,$$ $$(b, p)=0.$$

¿Es cierto que $$(a, b) = 1?$$

Gracias.

Answer 1

No, esto no es cierto: tomemos el producto punto canónico, con $k=2$ , $a=p=(0,1)$ , $b=m=(1,0)$ .

Answer 2

Puede ir en cualquier dirección. Considere $k=3$ y la forma bilineal definida por el producto interior habitual

$$(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$$

Entonces podemos organizar $a,b,p,m$ para que $(a,b)$ es $0$ o $1$ a nuestro gusto:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline a &(1,0,0) & (1,0,1) \\ b & (0,1,0) & (0,1,1) \\ p & (1,0,0) & (1,0,0) \\ m & (0,1,0) & (0,1,0) \\ \hline (a,b) & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$