Integrar: $ \;\int \frac{1}{x^2+3x+2} dx $

Question

¿Cómo puedo resolver la siguiente integral?

$$ \int \frac{1}{x^2+3x+2} dx $$

¿Debo proceder cambiando la variable (sustitución)? o ¿debo utilizar la integración por partes? ¿O bien otro método?

Gracias.

Answer 1

Esta integral está "gritando": Utilizar la descomposición parcial de la fracción !, sobre todo después de observar que los factores del denominador están bien $$x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x+1)$$

Así que nuestra integral tomará la forma:

$$\int \frac 1{x^2 + 3x + 2} \,dx = \int \left(\frac A{x+2} + \frac B{x+1}\right)\,dx$$

Ahora, resolvemos para $A, B$ sabiendo que $$A(x+1) + B(x+2) = 0\cdot x + 1$$

Si $x= -2$ entonces tenemos $A(-1) + 0\cdot B = 1\implies A = -1$ .

Si $x = -1,$ entonces tenemos $0\cdot A+ B = 1 \implies B = 1$ .

Así, la integral se convierte en $$\int \frac 1{x^2 + 3x + 2} \,dx = \int \left(\frac {-1}{x+2} + \frac 1{x+1}\right)\,dx =\int \left(\frac 1{x+1} - \frac 1{x+2}\right)\,dx$$

Confío en que puedas seguir adelante.

Answer 2

Sólo por diversión, lo probé de otra manera.

Completa el cuadrado $$ \frac{1}{x^2+3x+2} = \frac{1}{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}} $$ Variables de cambio $y=x+\frac{3}{2}$ $$ \int\frac{dx}{x^2+3x+2} = \int\frac{4}{4y^2-1} = {-2\;\mathrm{atanh}(2y)+C} $$ Sustituto de la espalda $$ \int\frac{dx}{x^2+3x+2}=-2\;\mathrm{atanh}(2x+3) + C $$ Comprobar diferenciando $$ \frac{d}{dx}\;\big(-2\;\mathrm{atanh}(2x+3)\big) =\frac{-4}{1-(2x+3)^2} = \frac{1}{x^2+3x+2} $$ OK