Resolución de una suma de exponenciales complejos

Question

Supongamos que tengo la siguiente ecuación.

$$e^x+e^{\omega x}+e^{\omega^2 x}=0$$

donde $\omega=e^{2i\pi/3}$ . ¿Cómo puedo encontrar todas las soluciones de esta ecuación en el plano complejo? ¿Necesito utilizar técnicas numéricas o hay formas algebraicas de resolverla? Creo que la respuesta a la algebraica es "no", pero me preguntaba si hay un método probado y verdadero.

Además, ¿qué pasa con las variantes siguientes?

$$e^x+\omega^2 e^{\omega x}+\omega e^{\omega^2 x}=0$$

$$e^x+\omega e^{\omega x}+\omega^2 e^{\omega^2 x}=0$$

Ciertamente, $x=0$ es una solución a estos, pero ¿cómo podría encontrar otros?

Answer 1

Su primera suma es igual a $${{\rm e}^{x}}+2\,{{\rm e}^{-x/2}}\cos \left( 1/2\,x\sqrt {3} \right) =0$$ creo que un método numérico ayudará aquí una solución viene dada por $$x\approx -1.849812799$$ su segunda ecuación viene dada por $${{\rm e}^{x}}-{{\rm e}^{-x/2}}\cos \left( 1/2\,x\sqrt {3} \right) - \sqrt {3}{{\rm e}^{-x/2}}\sin \left( 1/2\,x\sqrt {3} \right) =0$$ una solución viene dada por $$x\approx -7.859792867$$

Answer 2

Las raíces son invariantes bajo la multiplicación por $\omega$ . Aquí están los gráficos implícitos de las partes real (en azul) e imaginaria (en rojo) de $e^x+e^{\omega x} + e^{\omega^2 x}$ . Las raíces se encuentran en la intersección de las curvas roja y azul: evidentemente son puntos (bastante espaciados) a lo largo del eje real negativo y los rayos en los ángulos $\pm 2\pi/3$ de eso.

Las primeras raíces negativas son aproximadamente $$-1.84981279919014, -5.44123335502365, -9.06899753487163, -12.6965955465468, -16.3241942781214, -19.9517930065763$$