¿Por qué la suma módulo n de elementos en $\mathbb{Z}_n^*$ ¿Igual a 0?

Question

Me refiero al conjunto $$\mathbb{Z}_n^* = \{x \in \mathbb{Z}_n : \text{gcd}(x,n)=1\}$$ Me he dado cuenta de que para $n>2$ si se suman todos los elementos del conjunto, se obtiene $0\mod{n}$ . ¿Alguien puede explicar a qué se debe esto? También me he dado cuenta de que si $a$ está en el conjunto, entonces también lo está $n-a$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\text{gcd}(n-a,n)=1$ ?

Por ejemplo, $$\mathbb{Z}_8^* = \{1,3,5,7\}$$ Y $1+7 = 8$ , $3+5=8$ . Así que $1+3+5+7 \equiv_8 0$

Answer 1

Dejemos que $x\in\Bbb Z_n^\times$ . La multiplicación por $x$ (es decir, el mapa $a\mapsto ax$ ) define una permutación de $\Bbb Z_n$ que se restringe a una permutación de $\Bbb Z_n^\times$ . Por lo tanto, $$ \sum_{a\in\Bbb Z_n^\times}a= \sum_{a\in\Bbb Z_n^\times}(xa)= x\sum_{a\in\Bbb Z_n^\times}a. $$ Si $n\neq2$ siempre podemos elegir $x\neq1$ y la identidad anterior muestra que $\sum_{a\in\Bbb Z_n^\times}a$ debe ser $0$ .

Answer 2

Su comentario es lo que necesita.

Supongamos que $a \in \mathbb{Z}_n^*$ y algún número entero $k > 1$ dividir ambos $n-a$ y $n$ . Entonces $k$ dividirían su diferencia $n - (n-a) = a$ . Por lo tanto, $k$ dividir $n$ y $a$ y por lo tanto $a$ no puede pertenecer al conjunto. Por lo tanto, $n-a \in \mathbb{Z}_n^*$

Ahora sólo tienes que observar que $a + (n-a) = n = 0$ en $\mathbb{Z}_n^*$ y $$ \sum_{a \in \mathbb{Z}_n^*} a = \sum_{a \in \mathbb{Z}_n^*, a < n/2} (a + n-a) = 0. $$

Answer 3

Si $d$ divide ambos $n-a$ y $n$ entonces divide su diferencia, $n-(n-a)$ que es $a$ .

Answer 4

Todo divisor común de $n-a$ y $n$ también es un divisor común de $a$ y $n$ . Esto demuestra que si $a$ está en $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ entonces también $n-a$ está en este conjunto. La pareja $(a,n-a)$ se suma a $n$ que es congruente con $0$ modulo $n$ . Además, los números $a$ y $n-a$ son distintos ya que $a \equiv n-a \pmod n$ implicaría $n|2a$ Por lo tanto $n|2$ (porque $n$ y $a$ son coprimos). Para $n\neq 2$ esto es una contradicción. Para $n=2$ Sin embargo, la afirmación es realmente falsa ya que $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^\times = \{1\}$ que no suma $0$ modulo $2$ .

Answer 5

Sugerencia $\ $ Negación $\rm\:n\to -n\:$ es una involución $\rm\:-(-n) \equiv n,$ por lo que los ciclos (órbitas) de esta permutación tienen longitud $2$ o $1.\ $ Pero la longitud $1$ no es posible ya que $\rm\: -a \equiv a\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:n\:|\:2a\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:n\:|\:2,\:$ por $\rm\:(n,a)=1.\ $ Por lo tanto, todos los ciclos tienen una longitud $2$ para tener forma $\rm\:(a,\:-a).\:$ Estos ciclos dividen las unidades en pares que suman cada uno de ellos $0$ por lo que toda la suma de unidades es también $0$ .

Este es un ejemplo prototípico de Teorema de Wilson para grupos.