Tengo algunas dudas relacionadas con los pasos de la prueba del siguiente enunciado:
Dejemos que $A \in K^{n\times n}$ y que $m_A$ el polinomio mínimo de $A$ . Sea $\lambda \in K$ . Entonces $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y sólo si $\lambda$ es una raíz de $m_A$ .
Mi duda es con el $\implies$ de la prueba:
$\implies$ Dejemos que $\lambda \in K$ un valor propio de $A$ . Mediante el algoritmo de división en $K[X]$ existe $Q \in K[X]$ y $R \in K[X]$ tal que $m_A=Q(X-\lambda)+R$ .
Entonces $0=m_A(A)=Q(A)(A-\lambda I_n)+RI_n$ . Como $\lambda$ es un valor propio de $A$ , entonces hay $v \in K^n$ , $v \neq 0$ tal que $Av=\lambda v.$ Así que $0=Q(A)(A-\lambda I_n)v+Rv=Q(A)(Av-\lambda v)+Rv=Q(A)0+Rv=Rv$ Esto significa que $Rv=0$ , como $v \neq 0 \implies R=0$ . A continuación $m_A=Q(X-\lambda)$ es decir, $\lambda$ es una raíz de $m_A$ .
Esta prueba es bastante clara pero hay un pequeño paso que no pude seguir: "Por el algoritmo de división en $K[X]$ existe $Q \in K[X]$ y $R \in K[X]$ tal que $m_A=Q(X-\lambda)+R$ ." ¿Por qué es $R$ necesariamente en $K$ en lugar de $K[X]$ ? Agradecería que alguien me aclarara/justificara este sencillo paso.
