Si $tr. deg. F/K=r$ entonces $tr.deg. F(x_1,\ldots,x_n)/K(x_1,\ldots,x_n)=r$ .

Question

Dejemos que $F/K$ sea una extensión de campo de grado de trascendencia $r$ y que $\{x_1,\ldots,x_n\}$ sea un conjunto de elementos que son algebraicamente independientes sobre $K$ . Entonces, ¿es cierto que $tr.deg. F(x_1,\ldots,x_n)/K(x_1,\ldots,x_n)=r$ ?

Si $\{t_1,\ldots,t_r\}$ es una base de trascendencia de la extensión $F/K$ entonces sabemos $F/K(t_1,\ldots,t_r)$ es algebraico y $K(t_1,\ldots,t_r)/K$ es puramente trascendental. Así, $F(x_1,\ldots,x_n)/K(x_1,\ldots,x_n)(t_1,\ldots,t_r)$ también es algebraico. Ahora bastará con demostrar que $\{t_1,\ldots,t_r\}$ es algebraicamente independiente sobre $K(x_1,\ldots,x_n)$ . ¿Cómo debo abordarlo?

Mis preguntas anteriores son del libro de Álgebra de Lang en el contexto de ser libre de un campo a otro. He añadido una foto del libro de Álgebra de Lang: Quiero entender por qué $tr. deg. F(y)/K(y)=r$ como se muestra en el diagrama.

Answer 1

Si he entendido bien la pregunta, se trata de por qué la extensión $F(y)/k(y)$ descrito en el extracto tiene grado de trascendencia $r$ .

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Esto se desprende de los supuestos de esa afirmación. Sea $(t):=\{t_1,t_2,\ldots,t_r\}$ sea una base de trascendencia de $F/k$ . Entonces $(t)$ es un subconjunto de $K$ que es algebraicamente independiente sobre el campo base $k$ . Porque $K$ se supone que está libre de $L$ en $k$ se deduce que $(t)$ sigue siendo algebraicamente independiente sobre $L$ . Por lo tanto, $(t)$ también es algebraicamente independiente sobre el subcampo $k(y)\subseteq L$ . Por lo tanto, el grado de trascendencia de $F(y)/k(y)$ es al menos $r$ . Porque $F(y)$ es algebraico sobre $k(y)(t)$ el grado de trascendencia no puede ser mayor. Por lo tanto, el grado de trascendencia de $F(y)/k(y)$ es exactamente $r$ como dice el diagrama.

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La suposición de la libertad de $K$ de $L$ es absolutamente esencial en este argumento, y la afirmación puede ser falsa en caso contrario.

En el contexto prescrito $F$ es un subcampo de $K$ Por eso la pregunta del título es un poco extraña.