¿Existen procesos estocásticos de tiempo continuo en los que las probabilidades de transición sean funciones discontinuas en el tiempo?

Question

En los procesos estocásticos, como los procesos de Markov homogéneos, los procesos de Poisson, los sistemas de colas, etc., las funciones que representan las probabilidades (de transición) son continuas en el tiempo. Esto también es muy conveniente desde el punto de vista matemático, ya que permite realizar otros análisis útiles, como las tasas de transición en los procesos de Markov.

Hace poco leí un artículo ( https://arxiv.org/abs/1811.07401 ) donde se describe un proceso estocástico cuyas probabilidades son discontinuas en un número infinito (!!) de puntos. Según el documento, muestra la naturaleza problemática de una determinada clase de algoritmos con los que se asocia el proceso.

¿Existen procesos estocásticos de tiempo continuo con probabilidades de transición discontinuas o es fundamentalmente incompatible con la realidad matemática/física? Me gustaría una respuesta para procesos estocásticos que describan fenómenos/sistemas reales, no para procesos construidos teóricamente/artificialmente.

Answer 1

Un tipo de ejemplo es un proceso de salto que salta en ciertos momentos predeterminados, como en el caso de @AnthonyQuas comentario .

Por ejemplo, una comilla que sólo puede dar saltos cuando se abren los mercados, como la Bolsa de Nueva Zelanda a UTC+12 (+13), la Bolsa de Australia a UTC+10 (+11), etc.

Esto puede ser modelado por un proceso $V$ tal que $$V_t=\begin{cases}S_t,&\quad 2n\le t<2n+1,\\ S_{2n+1},&\quad 2n+1\le t<2(n+1)\end{cases}$$ donde $S_t$ es un movimiento browniano geométrico y $n$ es un número entero.