Dejemos que $\theta$ sea un ángulo en el intervalo $(0,\pi/2)$ . Dado que $\cos \theta$ es irracional y $\cos k\theta$ y $\cos (k+1)\theta$ son ambos racionales para algún número entero positivo $k$ , demuestran que $\theta=\pi/6$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En este contexto, es natural pensar en Teorema de Niven y mi solución más abajo utiliza este teorema. El enlace en el comentario de Gyumin Roh da una solución que no lo utiliza.
Este es un método para $k$ impar, $k=2t+1$ (el caso $k$ incluso es similar). Dejemos que $c_j=\cos(j\theta)$ para $j\in{\mathbb Z}$ . Tenemos la identidad fundamental :
$$ c_{i-j}+c_{i+j}=2c_ic_j \ (i,j\in{\mathbb Z}) \tag{1} $$
Debido a los polinomios de Chebyshev del primer tipo (o por inducción de (1) si prefiere), si $c_t$ es racional, entonces también lo es $c_{t'}$ para cualquier múltiplo entero $t'$ de $t$ .
A partir de las hipótesis, vemos entonces que $c_{j}$ es racional siempre que $j$ es un múltiplo de $k$ o $k+1$ . A continuación, deducimos utilizando (1) dos veces que
$$ \begin{array}{lcl} 2c_{1}c_{(2j+1)k} &=& c_{2jk+k+1}+c_{2jk+k-1} \\ 2c_{k+1}c_{2jk} &=& c_{2jk+k+1}+c_{2jk-k-1} \\ 2\bigg(c_{1}c_{(2j+1)k}-c_{k+1}c_{2jk}\bigg) &=& d_{j+1}-d_j, \ \text{where}\ d_j=c_{2jk-k-1} \\ \end{array} $$
Sumando la última identidad de $1$ a $t$ obtenemos
$$ \sum_{j=1}^{t}c_{1}c_{(2j-1)k}-c_{k+1}c_{2jk}= d_{t+1}-d_1=c_{(k-1)(k+1)}-c_{k+1} $$
Así que si la suma $L=\sum_{j=1}^{t} c_{(2j-1)k}$ fueran distintos de cero, podríamos escribir $c_1=\frac{c_{(k-1)(k+1)}-c_{k+1}+\sum_{j=1}^{t}c_{k+1}c_{2jk}}{L}$ contradictorio la hipótesis de que $c_1$ es irracional. Esto obliga a $L=0$ De ahí que $\bar{L}=0,L+i\bar{L}=0$ lo que significa que $\sum_{j=1}^{t} \gamma^j=0$ donde $\gamma=e^{i(2k\theta)}$ . Deducimos $\gamma^t=1$ y ahora podemos aplicar el teorema de Niven.
