Cómo demostrar que $ G $ es un grupo de Lie?

Question

El problema: Dejemos que $ G $ sea un grupo que también es una variedad suave, y supongamos que el mapeo $ (x,y) \mapsto x y $ es suave. ¿Cómo podemos demostrar que $ G $ es un grupo de Lie?

Este es un problema del libro de Spivak, y lo divide en tres pasos:

1. Encuentre $ f^{-1} $ cuando $ f: G \times G \to G \times G $ se define por $ f(x,y) \stackrel{\text{def}}{=} (x,x y) $ para todos $ (x,y) \in G \times G $ .

2. Demuestra que $ (e,e) $ es un punto regular de $ f $ .

3. Entonces concluye que $ G $ es un grupo de Lie.

No sé cómo utilizar (1) para llegar a (2). ¿Cuántas formas hay de demostrar que un punto es regular?

Answer 1

Para demostrar que $(e,e)$ es un punto regular, se puede calcular fácilmente la derivada de $f$ en $(e,e)$ y demostrar que es invertible.

Siguiente si $(e,e)$ es un punto regular, entonces por el teorema de la función inversa se sabe que $f$ es un autodifeomorfismo local de $G\times G$ .

En consecuencia, $f^{-1}$ también es suave en $f(e,e)=(e,e)$ y por lo tanto $x\mapsto \pi_2\circ f^{-1}(x,e)$ es suave en $e$ donde $\pi_2$ denota la segunda proyección $(x,y)\mapsto y$ .

Si calculas este último mapa, obtendrás que $x\mapsto x^{-1}$ es suave en $e$ . El último paso es demostrar o utilizar el siguiente hecho:

Si $\phi:G\mapsto G$ es suave en $e$ entonces es suave en $G$ .

que proviene de la suavidad de la multiplicación $(x,y)\mapsto xy$ .