Acerca de la relación áurea conjugada

Question

Mi pregunta es muy sencilla: Tengo la razón de oro, anotada "", y la llamada razón de plata, anotada "". Ambos números son soluciones para la ecuación x² - x - 1 = 0, y quiero demostrar que =1-, y =-1/. Sólo sé que (x-)(x-)=x² - x - 1, pero eso es todo, no lo entiendo aunque parece muy obvio. ¿Algún consejo al respecto? ¡Gracias por vuestras respuestas!

Answer 1

SUGERENCIA: Retomando desde donde lo has dejado,

$$(x-\phi)(x-\psi)=x² - x - 1$$ $$\implies x^2-(\phi+\psi)x+\phi\psi=x² - x - 1$$

Ahora, sólo tienes que comparar los coeficientes de los términos a ambos lados de la ecuación anterior y reordenarla para obtener lo que quieres demostrar.

Para mayor referencia, debe consultar Teorema de Vieta .

Answer 2

Ah, sí, ¡creo que lo entiendo! Así que tengo -(ϕ+ψ)=-1, y eso hace que -ψ=-1+ϕ, lo que equivale a ψ=ϕ-1, ¿no? Lo mismo para ψ=-1/ϕ, sólo tengo que mirar ϕψ=-1. No conocía este teorema, ¡lo recordaré para más adelante! Muchas gracias :)