Grupo $G$ de orden $p^2$ : $\;G\cong \mathbb Z_{p^2}$ o $G\cong \mathbb Z_p \times \mathbb Z_p$

Question

Si el orden de $G$ es $p^2$ Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $G$ es isomorfo a $\mathbb Z_{p^2}$ o $\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p$ .

Answer 1

Una pista:

Argumentar que $G$ debe ser abeliano (¿por qué?)

A continuación, utilice el Teorema fundamental de los grupos abelianos de generación finita para demostrar que cualquier grupo abeliano de orden $p^2$ debe ser necesariamente isomorfo a uno de los dos grupos $\mathbb Z_{p^2}$ o $\mathbb Z_p\times \mathbb Z_p$ que son grupos no isomorfos, ya que $\mathbb Z_m\times \mathbb Z_n \cong \mathbb Z_{mn} \iff \gcd(m,n) = 1$ y con claridad, $\gcd(p, p) = p \neq 1$ .

Answer 2

Pistas:

¿Cuáles son los posibles órdenes de los elementos en $\,G\,$ ? Y si no hay ningún elemento de orden $\,p^2\,$ en $\,G\,$ entonces, ¿puede encontrar dos elementos

$$1\neq x,y\in G\;\;s.t.\;\;\langle x\rangle\cap\langle y\rangle = 1\ldots?$$

Answer 3

Se puede prescindir del teorema fundamental de los grupos finitos abelianos en este caso, una vez que se sabe que el grupo es abeliano. Si sólo hay un subgrupo de orden $p,$ entonces considera el orden de un elemento fuera de ese subgrupo. Si hay dos subgrupos diferentes $A$ y $B$ de orden $p$ . ¿Qué es? $A \cap B?$ ¿Qué es? $|AB|?$

No ha quedado claro en lo que has escrito si ya has comprobado por ti mismo que $G$ (todo el grupo) un abeliano, o lo conoces por otras razones. Dependiendo de lo que hayas hecho hasta ahora en tu curso, esto puede ser sencillo o no. ¿Has demostrado que si $G$ es un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliana? ¿Ha demostrado que un finito $p$ -¿el grupo tiene un centro no trivial? En realidad no has dicho que $p$ era un primo por cierto, pero supongo que está claro por el contexto.