4 votos

Subgrupos de grupos abelianos finitos.

Para cada subgrupo H de un grupo abeliano finito G, existe un subgrupo N de G tal que G/NH. Tengo que demostrarlo o dar un contraejemplo.

Conozco los teoremas de isomorfismo y la clasificación de los grupos abelianos, los productos directos, etc.

4voto

Dietrich Burde Puntos 28541

Sí, es cierto.

Teorema: Dejemos que G sea un grupo abeliano finito. Se cumplen las dos afirmaciones siguientes.

(A) Cada subgrupo de G es isomorfo a un grupo cociente de G ,
(B) Cada grupo cociente de G es isomorfo a un subgrupo de G .

Para una prueba, véase [esta pregunta de MSE]( ¿Es todo cociente de un grupo abeliano finito G es isomorfo a algún subgrupo de G ? , lo que demuestra que (B) ; pero también la misma idea funciona para probar (A) . Otra referencia para las pruebas es

L. Fuchs, Abelian Groups. Oxford 1960, página 53 .

0voto

ayadi mohammed Puntos 82

El grupo G es abeliano finito, por el teorema de la estructura G es un producto directo de subgrupos cíclicos Gi,i=1,...n donde |G1| es el exponente de G y |Gi+1| idear |Gi| para todos i=1,...,n1 también H es un producto directo de sub grupos cíclicos Hi,i=1,...m donde |H1| es el exponente de H y mn por lo que el exponente de H idear el exponente de G . como G es también un producto directo de su p -Sylow, obtenemos un prueba para G p-grupo y al final establecimos el general caso general.

Así que podemos suponer n=m (porque la propiedad del exponente asegura que podemos suponer Hi está en Gi para todos i ), que si es necesario para completar por el subgrupo trivial. en este caso, clavamos en cada Gi un subgrupo Ni de orden [Gi:Hi]= y forma N como el producto directo de Ni en G por lo que obtenemos G/NH .

en el caso general es el mismo argumento, descomponer G y H en un p-Slow directo, y en cada p-Sylow de G , tachar lo que corresponda Np y forma N como producto directo de su p-Sylow Np

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X