Para cada subgrupo de un grupo abeliano finito existe un subgrupo de tal que Tengo que demostrarlo o dar un contraejemplo.
Conozco los teoremas de isomorfismo y la clasificación de los grupos abelianos, los productos directos, etc.
Para cada subgrupo de un grupo abeliano finito existe un subgrupo de tal que Tengo que demostrarlo o dar un contraejemplo.
Conozco los teoremas de isomorfismo y la clasificación de los grupos abelianos, los productos directos, etc.
Sí, es cierto.
Teorema: Dejemos que sea un grupo abeliano finito. Se cumplen las dos afirmaciones siguientes.
(A) Cada subgrupo de es isomorfo a un grupo cociente de ,
(B) Cada grupo cociente de es isomorfo a un subgrupo de .
Para una prueba, véase [esta pregunta de MSE]( ¿Es todo cociente de un grupo abeliano finito es isomorfo a algún subgrupo de ? , lo que demuestra que ; pero también la misma idea funciona para probar . Otra referencia para las pruebas es
L. Fuchs, Abelian Groups. Oxford 1960, página .
El grupo es abeliano finito, por el teorema de la estructura es un producto directo de subgrupos cíclicos donde es el exponente de y idear para todos también es un producto directo de sub grupos cíclicos donde es el exponente de y por lo que el exponente de idear el exponente de . como es también un producto directo de su -Sylow, obtenemos un prueba para p-grupo y al final establecimos el general caso general.
Así que podemos suponer (porque la propiedad del exponente asegura que podemos suponer está en para todos ), que si es necesario para completar por el subgrupo trivial. en este caso, clavamos en cada un subgrupo de orden y forma como el producto directo de en por lo que obtenemos .
en el caso general es el mismo argumento, descomponer y en un p-Slow directo, y en cada p-Sylow de , tachar lo que corresponda y forma como producto directo de su p-Sylow
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