Subgrupos de grupos abelianos finitos.

Question

Para cada subgrupo $H$ de un grupo abeliano finito $G,$ existe un subgrupo $N$ de $G$ tal que $G/N \cong H.$ Tengo que demostrarlo o dar un contraejemplo.

Conozco los teoremas de isomorfismo y la clasificación de los grupos abelianos, los productos directos, etc.

Answer 1

Sí, es cierto.

Teorema: Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito. Se cumplen las dos afirmaciones siguientes.

(A) Cada subgrupo de $G$ es isomorfo a un grupo cociente de $G$ ,
(B) Cada grupo cociente de $G$ es isomorfo a un subgrupo de $G$ .

Para una prueba, véase [esta pregunta de MSE]( ¿Es todo cociente de un grupo abeliano finito $G$ es isomorfo a algún subgrupo de $G$ ? , lo que demuestra que $(B)$ ; pero también la misma idea funciona para probar $(A)$ . Otra referencia para las pruebas es

L. Fuchs, Abelian Groups. Oxford 1960, página $53$ .

Answer 2

El grupo $G$ es abeliano finito, por el teorema de la estructura $G$ es un producto directo de subgrupos cíclicos $G_i, i=1,...n$ donde $|G_1|$ es el exponente de $ G$ y $|G_{i+1}|$ idear $|G_{i}|$ para todos $i=1,...,n-1$ también $H$ es un producto directo de sub grupos cíclicos $H_i, i=1,...m$ donde $|H_1|$ es el exponente de $ H$ y $m\leq n$ por lo que el exponente de $ H$ idear el exponente de $G$ . como $G$ es también un producto directo de su $p$ -Sylow, obtenemos un prueba para $G$ p-grupo y al final establecimos el general caso general.

Así que podemos suponer $n=m$ (porque la propiedad del exponente asegura que podemos suponer $H_i$ está en $G_i$ para todos $i$ ), que si es necesario para completar por el subgrupo trivial. en este caso, clavamos en cada $G_i$ un subgrupo $N_i$ de orden $[G_i:H_i]=$ y forma $N$ como el producto directo de $N_i$ en $G$ por lo que obtenemos $G/N\simeq H$ .

en el caso general es el mismo argumento, descomponer $G$ y $H$ en un p-Slow directo, y en cada p-Sylow de $G$ , tachar lo que corresponda $N_p$ y forma $N$ como producto directo de su p-Sylow $N_p$