¿Cuántos pares de números existen, que satisfagan las siguientes condiciones?

Question

El GCD de $2$ números es $6$ y el producto de los dos números es $4320$ . Cuántos pares de números existen, que satisfacen la condición anterior.

MyApproach

Tomé GCD $\times$ LCM=Producto de dos números

6 . LCM=4320

De lo cual obtengo LCM=720.

No estoy llegando a ninguna parte de la solución.

¿Alguien puede orientarme sobre cómo resolver el problema?

Answer 1

Esquema

Hasta ahora tienes razón. Si los dos números son $a$ y $b$ tenemos $(a,b) = 6$ Así que

$(6m, 6n) = 6$ donde $(m, n) = 1$ . Ahora el resto $720$ tiene que ser distribuido entre $m$ y $n$ .

$720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ . No podemos tener ningún factor del mismo primo distribuido, es decir, todos los $2$ debe ir con $m$ o con $n$ . Dado que hay $3$ factores primos distintos, hay $8$ posibilidades de distribuirlos. Como nos interesan los pares, eliminamos la simetría dividiendo $8$ por $2$ y obtener $\color{blue}{4}$ posibilidades como respuesta final.