baire $1$ función

Question

Aquí es una nueva definición de función de clase uno de Baire. Supongamos que $X$ es un espacio métrico completo separable. Una función $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ se dice que es de clase Baire uno si para cualquier $\epsilon>0$ existe $\delta:X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x,y \in X$ , $$d(x,y)<\delta(x) \wedge \delta(y) \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$

Supongamos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dado por

\begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x=1 \\ \end{cases}

Claramente $f$ es una función Baire uno, ya que es el límite puntual de la secuencia de funciones continuas $f_n(x)=x^n$ . Sin embargo, no consigo verificar que es una función Baire uno utilizando la definición dada anteriormente, es decir, incapaz de encontrar $\delta:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Una pregunta bastante antigua y fácil de responder durante tanto tiempo. Estaba buscando otra cosa y apareció esto. Puede ser que también lo termine. Supongo que el Sr. Idonknow es, después de todo este tiempo, probablemente el Sr. Iamuchbetterinformed y ya no está tan interesado.

Considere la función (similar a la solicitada): $$f(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 1 & x\geq 0 \\ \end{cases}$$

Esto es claramente Baire 1. Es fácil encontrar una secuencia de funciones continuas que converjan puntualmente a ella. O es fácil investigar los conjuntos $\{x: f(x)<\alpha\}$ .

Comprobemos cómo utilizar esta definición equivalente.

Dejemos que $\epsilon>0$ . Para cada $x\not= 0 $ elija $ \delta(x)=|x|/2$ y luego elegir $\delta(0)=1$ . Tenga en cuenta que si

$$d(x,y)< \min\{\delta(x), \delta(y) \}$$

entonces ambos $x$ y $y$ son negativos o ambos $x$ y $y$ son positivos. De ello se desprende que $|f(x)-f(y)| = 0 < \epsilon$ . De este criterio se deduce que la función es Baire 1.

Entonces, ¿por qué dudé de este pequeño y trivial problema? Esta expresión particular usando un guage $\delta$ en relación con las funciones Baire uno (y otras propiedades) aparece repetidamente en este trabajo:

A. M. Bruckner, R. J. O'Malley y B. S. Thomson. Derivados de la trayectoria: Una visión unificada de ciertas derivadas generalizadas. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 283, No. 1 (mayo, 1984), 97-125.

De hecho, el teorema 5.2 de ese documento también podría utilizarse para demostrar que esta función es Baire 1 (pero eso sería exagerado).