Demostrar que $T=T'$ las topologías inducidas por las métricas $d$ y $d'$ respectivamente.

Question

Según el libro:

¿Es fácil ver que si suponemos $\epsilon\le 1$ así $d(x,y)=d'(x,y)$ así $B_d(x,\epsilon)=B_d'(x,\delta)$ . Pero, ¿cómo es posible que $B_d(x,\epsilon)\subset B_d'(x,\delta)$ si $\epsilon> 1$ ? Es decir, si $\epsilon> 1$ entonces $d(x,y)> 1$ y $d'(x,y)=1$ que dará lugar a $B_d'(x,1)\subset B_d(x,\epsilon)$ lo que significa $T$ es siempre más fino $T'$ . También es evidente para el caso especial de la topología estándar: cualquier conjunto abierto en un intervalo finito es también un conjunto abierto en $\mathbb{R}$ pero cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R}$ puede no ser ni siquiera un subconjunto de algún intervalo finito fijo. Así que $T$ y $T'$ no son iguales, al contrario de lo que dice el libro. Por favor, guíenme cómo es esto.

Gracias.

Answer 1

Tú lo preguntaste:

Pero, ¿cómo es posible que $B_d(x,\epsilon)\subset B_d'(x,\delta)$ si $\epsilon> 1$ ?

Esa inclusión no se sostiene. Has cambiado $\epsilon$ y $\delta$ .

Para la dirección problemática, recuerde que se nos permite elegir $\delta$ más pequeño que el dado $\epsilon$ . Si $\epsilon>1$ elegimos $\delta=1$ . Esto es lo que se entiende por

$$\delta=\min\{\epsilon,1\}.$$

Elegimos $\delta$ tan pequeño que el $\delta$ -bola está contenida en el $\epsilon$ -Bola. No al revés.