Máximo de funciones cuasi-convexas

Question

Una función $f$ es cuasiconvexo si todos sus conjuntos de subniveles son convexos (es decir, $\{ x: f(x) \le \alpha\}$ es convexo para todo $\alpha$ .)

Para una función convexa $f$ es cierto que $f$ alcanza su máximo sobre un conjunto convexo $S$ en un punto extremo de $S$ . ¿Cuál es el análogo de esto para las funciones cuasi-convexas?

Answer 1

Creo que asumiendo que $S$ es compacto y que $f$ alcanza su supremacía sobre $S$ tiene razón - véase más abajo.

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Si $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ es cuasiconvexa, entonces para cualquier $0\leq\theta\leq 1$

$$f(\theta x+(1-\theta)y)\leq\max\{f(x),f(y)\}.$$

Prueba: Para obtener una contradicción supongamos que existe un $y,z$ y $0\leq\theta\leq 1$ tal que

$$f(\theta y+(1-\theta)z)>\max(f(y),f(z)).$$

Consideremos el conjunto de subniveles $A:=\{x:f(x)\leq\max(f(y),f(z))\}$ . Entonces $y,z\in A$ pero $\theta y+(1-\theta)z\not\in A$ que contradice la cuasiconvexidad de $f$ .

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Se puede iterar lo anterior para conseguirlo:

Si $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ es cuasiconvexa, entonces para cualquier $x_1,\dots,x_m\in \mathbb{R}^n$ y $\theta_1\geq 0,\dots,\theta_m\geq0$ tal que

$$\sum_{i=1}^m\theta_i=1,$$

puis

$$f\left(\sum_{i=1}^m\theta_i x_i\right)\leq \max_{i=1,\dots,m}\{f(x_i)\}.\quad\quad(*)$$

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Podemos utilizar lo anterior para demostrarlo:

Si $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ es cuasi-convexo, $S$ es un subconjunto compacto y convexo de $\mathbb{R}^n$ y existe un $x^*\in S$ tal que $f(x^*)\geq f(x)$ entonces $S$ tiene un punto extremo $y$ tal que $f(y)= f(x^*) $ .

Prueba: Por la Teorema de Krein-Milman $S$ tiene al menos un único punto extremo. Además, si $K$ denota el conjunto de todos los puntos extremos de $S$ entonces $S$ es igual al casco convexo de $K$ .

Desde $x^*\in S$ y utilizando la definición de casco convexo, existe $x_1,\dots,x_m\in K$ y $\theta_1\geq0,\dots,\theta_m\geq0$ con $\sum_{i=1}^m\theta_i=1$ , de tal manera que $x^*=\sum_{i=1}^m\theta_i x_i$ . Aplicando $(*)$ completa la prueba.

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Tenga en cuenta que si $f$ es continua, ya que $S$ es compacto, entonces la existencia de $x^*$ en la premisa anterior está garantizada.