Si tres puntos de una superficie cuádrica, la línea que pasa por ellos está contenida en la cuádrica

Question

Tengo problemas para entender un paso en mi Notas de la conferencia del profesor

Demuestra que

Lemma 2.2.4 Sea $P_1,\ldots,P_5$ sean puntos distintos en $\mathbb{P}_k^2$ . Existe una cónica en $\mathbb{P}_k^2$ que contiene estos

puntos. Si no hay cuatro de estos puntos en una línea, la cónica es única.

Lo que estoy teniendo problemas: En el caso de que 3 de los puntos $P_1, P_2, P_3$ están en una línea, afirma que la propia línea está en la cónica.

¿Es un hecho general? Suponga que tiene una curva plana dada por $\sum_{|\alpha|=n} a_\alpha x^{\alpha_1}y^{\alpha_2}z^{\alpha_3}$ con 3 puntos colineales digamos(sin pérdida de generalidad) $P_1=[0:0:1],P_2=[x_0:y_0:z_0],P_3$ en él. La curva plana será de la forma $\sum_{|\alpha|=n, \alpha_3 <n} a_\alpha x^{\alpha_1}y^{\alpha_2}z^{\alpha_3}$ y la línea que pasa por estos puntos viene dada por el morfismo $[t:s] \to [tx_0,ty_0,s]$ . La cuestión de si el $\overline{P_1P_2P_3}$ está contenida automáticamente en la superficie plana se plantea como, "supongamos que hay un $[s:t]\neq [1:z_0]$ o $[0:0:1]$ tal que $\sum_{|\alpha|=n} t^{\alpha_1+\alpha_2}s^{\alpha_3} a_\alpha {x_0}^{\alpha_1}{y_0}^{\alpha_2}{z_0}^{\alpha_3}=0$ . Entonces esto es cero para todo $[t:s]$ .

Answer 1

Se aplica igualmente a las superficies cuádricas y a las líneas en $\mathbb P^3$ . La cuestión es que la noción de grado está bien definida y se comporta bien para las variedades proyectivas. En este caso particular, veamos un parche afín; podemos suponer sin pérdida de generalidad que la línea en cuestión es la $x$ -(definido por $y=0$ ). Si la ecuación que define la cónica no es un múltiplo de $y$ , entonces restringiendo la función a la $x$ -eje, es decir, la fijación de $y$ igual a $0$ , da un grado $2$ polinomio en $x$ que tiene exactamente $2$ soluciones (contadas con multiplicidades). Así, si hay más de dos puntos, la cuádrica es un múltiplo de $y$ es decir, el $x$ -El eje se encuentra dentro de la cónica.