argumento numérico para $AB=I$ implica $BA=I$ .

Question

Diga $A$ y $B$ son matrices cuadradas con $K$ -valores de las entradas, $K$ un campo. Hay un argumento "abstracto" que demuestra que esto implica $BA=I$ , es decir, que $AB=I$ implica $A$ es sobreyectiva, por lo que es inyectiva por nulidad de rango, por lo que su inversa derecha debe ser su inversa izquierda. Mi pregunta es si hay algún otro argumento más "numérico" que demuestre esto, ya que obviamente se puede interpretar $AB=I$ como un sistema de ecuaciones. El argumento debería utilizar (creo) el hecho de que $K$ es un campo, ya que la nulidad de rango no funciona sobre módulos generales. Así que en alguna parte del argumento debe intervenir la división. Gracias de antemano.

Answer 1

Es posible un argumento algebraico en términos de ecuaciones ("numérico"), utilizando el determinante. Dado que $1=\det I=\det(AB)=\det(A)\det(B)$ sabemos que $\det(A)\neq 0$ para que la inversa $A^{-1}$ existe. Por lo tanto, $AB=I$ da $B=A^{-1}AB=A^{-1}$ para que $BA=A^{-1}A=I$ .