Dual del espacio de Sobolev

Question

Es bien sabido que para un dominio acotado dado $\Omega$ el espacio de Sobolev $W^{1,2}(\Omega)$ es un espacio de Hilbert, que es el espacio dado por $$W^{1,2}(\Omega)=\{u\in L^2(\Omega):\nabla u\in L^2(\Omega)\}$$ bajo la norma $$\|u\|_{W^{1,2}(\Omega)}=\|u\|_{L^2(\Omega)}+\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}.$$ Entonces, por el teorema de representación de Riesz, el dual de este espacio debería ser isomorfo al propio espacio. Pero he visto en los libros de PDE, que el dual de $W^{1,2}(\Omega)$ es un espacio más grande que $W^{1,2}(\Omega)$ que tampoco es isomorfo a $W^{1,2}(\Omega)$ si lo he entendido bien. No pude entender la razón.

¿Puede alguien ayudarme a entender el concepto?

Gracias.

Answer 1

Todos los espacios de Hilbert de dimensión infinita son isomórficos y el dual de $W^{1,2}(\Omega)$ es un espacio de Banach separable. Por lo tanto, también es isomorfo a $L^2(\Omega)$ , $W^{2,2}(\Omega)$ ...

Sin embargo, estas diferentes identificaciones dan lugar a diferentes mapeos de dualidad. Por lo tanto, se recomienda no identificar los espacios duales de $W^{k,2}(\Omega)$ para $k > 0$ con ella misma. Sólo debe identificar $L^2(\Omega)^*$ con $L^2(\Omega)$ . De esta manera, se obtiene una incrustación continua $$E \colon W^{1,2}(\Omega) \to L^2(\Omega)$$ y el mapeo adjunto $E^* \colon L^2(\Omega) \to W^{1,2}(\Omega)^*$ (en este caso, utilizamos la identificación de $L^2(\Omega)^*$ ) es continua e inyectiva. Así, se puede identificar $L^2(\Omega)$ con un subespacio de $W^{1,2}(\Omega)^*$ . Por lo tanto, $W^{1,2}(\Omega)$ es menor que $L^2(\Omega)$ que es (en este sentido) menor que $W^{1,2}(\Omega)^*$ .