Solución general a la EDO $ y''-Ay^5=0 $

Question

¿Cuál es la solución de $$ y''-Ay^5=0 $$ Tengo la solución $ y = {(3/4A)}^{1/4} x^{-1/2}$ utilizando el método de prueba y error, pero ¿cómo resolver este tipo de problemas en general?

Answer 1

Intentemos sustituir el enfoque de prueba y error y suponga que que $y=ax^k$ así, sustituyendo, obtenemos $$a (k-1) k x^{k-2}-a^5 A x^{5 k}=0$$ Por lo tanto, se podría establecer $k-2=5k$ (es decir $k=-\frac 12$ y $a(k-1)k=a^5 A$ lo que lleva a cinco soluciones diferentes para $a$ dos de ellos son imaginarios, y uno de ellos es $0$ . Entre los reales, una solución es su.

Pero, como se ha dicho en los comentarios, se trata de una solución muy particular.

El problema es muy complejo como se muestra en el enlace proporcionado por Mathlover.

Answer 2

Ponerlo en $$\frac{d^2y}{dx^2} = Ay^5$$

Si multiplicamos esta EDO por $2 \frac{dy}{dx}$ obtenemos $2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2} = 2A y^5 \frac{dy}{dx}$ Así, $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{Ay^6}{6} + K$ . Ahora, en el caso simple (donde decimos tener condiciones iniciales como) cuando $y = 1$ , $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ así que $K = 0$ . es decir $\displaystyle \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^6}{3} $ así que $ \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{y^3}{\sqrt{3}} $ Separando, $\frac{dy}{y^3} = \frac{dx}{\sqrt{3}}$ así que $ - \frac{1}{2} y^{-2} = \frac{x}{\sqrt{3}} + A$ . Como $y = 1$ cuando $x = 0$ , $A = -\frac{1}{2}$ así que $ - \frac{1}{2} y^{-2} = \frac{x}{\sqrt{3}} -\frac{1}{2}$ es decir $ = \left( 1 - \frac{2x}{\sqrt{3}} \right)^{-1/2}$ .

Esa sería una solución concreta (que ya he visto antes y por eso la menciono aquí, sin embargo la vida no es tan sencilla y no mencionas ninguna condición inicial por lo que equivaldría a resolver (lo que es más complicado pero no imposible) \begin{equation} \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{Ay^{6}}{6} + K} \end{equation}

Answer 3

En esta ecuación, $x$ no existe y su solución es rutinaria (consultar cualquier libro de texto de ED). Sea $u=y'$ y luego $u'=y''$ . Tratamiento de $u$ en función de $y$ y luego observando $$ u'=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}y'=\frac{du}{dy}u $$ tenemos $$ \frac{du}{dy}u=Ay^5 $$ que es un DE separable cuya solución es estándar. Creo que se puede manejar.