Cómo probar $f(n)$ ¿es una función por una?

Question

Si queremos mostrar $A$ tiene la misma cardinalidad de $ B$ utilizamos una función uno a uno y onto ,para demostrar $card(A)=card(B)$ .

Para demostrar $\mathbb{N}\sim\mathbb{Z}$ podemos utilizar $$f(n):\mathbb{N}\mapsto \mathbb{Z}\\f(n)=(-1)^n\lfloor\frac n2\rfloor$$ así que $$1 \mapsto 0\\2\mapsto+1\\3\mapsto -1\\4 \mapsto+2\\5\mapsto -2\\6\mapsto+3\\7\mapsto-3\\\vdots$$ esta claro que $f(n)$ es una biyección, pero no sé cómo demostrarlo por definición. Lo siento si mi pregunta es intuitiva.

Gracias de antemano por cualquier pista, guía o solución (o cualquier idea más)

Answer 1

(Pretende ser una pista clarificadora; le dejaré más trabajo, aunque puedo proporcionarle detalles adicionales si me indica dónde, precisamente, está estancado).

Para demostrar que se trata de un biyección tienes que mostrar dos cosas:

1. Que $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ es en . En otras palabras, para cada $n \in \mathbb{Z}$ debes demostrar que existe $k \in \mathbb{N}$ para lo cual $f(k) = n$ .

2. Que $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ es uno a uno . En otras palabras, para todos los $a, b \in \mathbb{N}$ debe ser el caso que $f(a) = f(b)$ implica $a = b$ .

Para demostrar 1 y 2 arriba, puede ayudar a dividir en varios casos, como par contra impar (como se sugiere en un comentario) y/o positivo contra negativo.

Answer 2

Esencialmente su función es

$$f(n)=\begin{cases} \quad\dfrac n2\qquad \text{if $n$ is even}\\ -\dfrac {n+1}{2}\quad \text{if $n$ is odd} \end{cases}$$

Inyectabilidad:

Supongamos que $f(a)=f(b)$ . Entonces tenemos dos casos:

Si $f(a),f(b)$ son positivos, $\frac{a}{2}=\frac{b}{2} \implies a=b$ .

Si $f(a),f(b)$ son negativos, $-\frac {a+1}{2}=-\frac {b+1}{2}\implies a=b$ .

La subjetividad:

Te dejaré terminar este. Toma un poco de $x\in\mathbb{Z}$ . Si $x$ es positivo, entonces ... y si $x$ es negativo, entonces ... .