Comprensión del concepto de Teorema de Taylor del Resto

Question

Estoy tratando de comprender la idea del Teorema de Taylor. Quiero saber si la forma en que lo entiendo es correcta o incorrecta.

Como en la aproximación lineal

es $$f(x) \approx f(c) + f'(c)(x-c)$$ o $$f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + f''(\zeta)(x-c)$$

que está en la imagen de abajo

El error es exactamente $$f''(\zeta)(x-c)$$

Entonces pensé en un caso con un orden inferior de derivada que es

$$f(x) = f(c) + f'(\zeta)(x-c)$$

El error es exactamente $$f'(\zeta)(x-c)$$

Entonces me di cuenta de que a medida que hay más términos, el orden de las derivadas para el error es mayor, lo que lleva a la ecuación $$\frac{f^{n+1}(\zeta)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

¿Es ésta la forma correcta de entender el teorema?

Answer 1

Si $f$ es suficientemente diferenciable en la vecindad del punto $c\in{\mathbb R}$ entonces para cada $n\geq0$ su $n^{\rm th}$ Polinomio de Taylor $j_c^nf$ se define como sigue: $$j_c^nf(x):=\sum_{k=0}^n{f^{(k)}(c)\over k!}(x-c)^k\ .$$ $\bigl($ Nota: A veces la variable de incremento $X:=x-c$ se utiliza como variable para $j_c^nf$ . Se escribe entonces $$j_c^nf(X):=\sum_{k=0}^n{f^{(k)}(c)\over k!}X^k\ .\bigr)$$ Dado $x$ el valor de dicho polinomio puede calcularse exactamente en un número finito de pasos.

¿Por qué debemos introducir este polinomio? Ahí es donde entra el "teorema de Taylor con resto". Resulta que cuando $|x-c|$ es pequeño este polinomio da una buena aproximación al verdadero valor de $f$ en $x$ : $$f(x)\approx j_c^nf (x)\quad\bigl(|x-c|\ll1)\ .$$ Ahora "una buena aproximación" es sólo una descripción coloquial. Queremos límites de error. Hay varias formas de cuantificar el error $$R_n(x):=f(x)-j_c^nf(x)\ .$$ Uno de ellos dice lo siguiente: Hay un punto $\xi$ entre $c$ y $x$ tal que $$R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi)\over (n+1)!}(x-c)^{n+1}\ .\tag{1}$$ La fórmula $(1)$ sólo es útil si se tiene un control sencillo sobre los valores de $f^{(n+1)}$ . Este es el caso, por ejemplo, cuando $f=\sin$ . Pero no creas que la fórmula $$f(x)=j_c^nf(x)+R_n(x)$$ le permite calcular el valor de algunos $f(x)$ exactamente de forma "finitaria", aunque muy complicada.