Si A y B son matrices de covarianza, ¿es A+B una matriz de covarianza? ¿Es A^2 una matriz de covarianza? ¿Es AB una matriz de covarianza?
Sé las propiedades necesarias de una matriz de covarianza, pero no conocía las propiedades suficientes de una matriz de covarianza.
Gracias.
Para que una matriz $n \times n$ $M$ sea una matriz de covarianza válida, $M$ debe ser simétrica y semidefinida positiva. Sabiendo que $A$ y $B$ son matrices de covarianza (y tienen todas las propiedades de una matriz de covarianza), debes construir matrices generales $A$ y $B$ que sean matrices de covarianza (pero sin asumir nada más) y ver si $A+B$, $A^2$ y $AB$ cumplen las condiciones anteriores para una matriz de covarianza. (Es decir, ¿son $A+B$, $A^2$, y $AB$ $n \times n$, simétricas y definidas positivas?)
Así puedo ver que A+B, A^2 y AB son todos simétricos. A+B puedo ver que es semidefinido positivo, pero no estoy seguro sobre A^2 y AB. ¿Podrías informarme sobre ellos? Gracias.
Bueno, creo que ese es el propósito del problema tal como se plantea. :) De la misma manera que verificaste si $A+B$ es semidefinido positivo (también llamado no negativo definido), intenta verificar $A^2$ y $AB$. Mira la definición de semidefinido positivo y ve si tiene sentido. A menudo intento encontrar un contraejemplo durante uno o dos minutos para convencerme si mi conjetura parece sostenerse.
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[self-study]y lea su wiki.1 votos
También, ¿estás pensando en la matriz de covarianza de qué? Por ejemplo, ¿estás preguntando si la matriz de covarianza de la suma de una matriz A + una matriz B tiene una matriz de covarianza igual a la matriz de covarianza de A + la matriz de covarianza de B?
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Esta es una pregunta de entrevista.