Tengo aquí la siguiente pregunta:
Dejemos que $X$ sea el $5 \times 5$ matriz "llena de unos":
$X = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$
$(a)$ Es $X$ ¿Invertible? Explica.
$(b)$ Encuentre un número $c$ tal que $X^2=cX$ .
$(c)$ Calcula $(X-aI_5)(X+(a-c)I_5)$ , donde $a$ es un número real, $c$ es la constante de la parte $(b)$ , $a\neq 0$ y $a\neq c$ . Si $M=(X-aI_5)$ ¿Qué es? $M^{-1}$ ? (Puede expresar su respuesta en términos de $X,I_5,a$ y $c.$ )
Ya hice una parte $(a)$ y $(b)$ .
$(a)$ No. No es invertible ya que hay dos o más filas o columnas idénticas por lo que el determinante sería $0$ y por lo tanto no es invertible.
$(b)$ $X^2 = \begin{pmatrix}5 & 5 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5\\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \end{pmatrix}$
Así, $c=5$ .
$(c)$ Casi tengo parte $(c)$ también. Es la última parte la que no puedo entender.
$=(X-aI_5)(X+(a-c)I_5)$
$=-a(a-c)I_5$
Si $M=(X-aI_5)$ Eso significa que si multiplico ambos lados por $(X+(a-c)I_5)$ Lo entiendo:
$$M(X+(a-c)I_5)=(X-aI_5)(X+(a-c)I_5)$$ $$M(X+(a-c)I_5)=-a(a-c)I_5$$
Puedo ver literalmente la respuesta frente a mí, pero no está del todo ahí. ¿Cómo puedo proceder a partir de aquí?
Como referencia, la respuesta debería ser:
$M^{-1}=\frac{X+(a-c)I_5}{-a(a-c)}$
