Dejemos que $X$ sea un conjunto de funciones $f:[-1,1]\to \mathbb{C}$ tal que $f(0)=0$ y existe $\alpha>0$ tal que
$$ |f(t)-f(s)|\le \alpha |t-s| $$
para todos $t,s\in [-1,1]$ . Equipar $X$ con la norma:
$$ ||f||=\inf \{\alpha:|f(t)-f(s)|\le \alpha |t-s|\} $$
Demuestra que $||\cdot||$ es efectivamente una norma y que $X$ es completa con respecto a esta norma
Demostrando que $||\cdot||$ es una norma no era terriblemente difícil, pero estoy atascado con la parte de la integridad. Así que si $x_n$ es Cauchy en $X$ , entonces para un determinado $\epsilon>0$ hay $N$ tal que $m,n\ge N$ entonces
$$ \inf\{\alpha:|(x_n-x_m)(t)-(x_n-x_m)(s)| \le \alpha|t-s|\} <\epsilon $$
en particular
$$ |(x_n-x_m)(t)-(x_n-x_m)(s)| \le \epsilon|t-s| $$
tomando $s=0$ entonces obtenemos
$$ |(x_n-x_m)(t)|\le \epsilon|t|\le \epsilon $$
Así que $x_n(t)$ es Cauchy en $\mathbb{C}$ y así converge a $x(t)\in \mathbb{C}$ .
Está claro que $x(0)=0$ ya que es un límite de la secuencia de $0$ . Además, tomando el límite $m\to \infty$
$$ |(x_n-x)(t)-(x_n-x)(s)|\le \epsilon |t-s| $$
Por lo que se deduce $||x_n-x||\le \epsilon$ dado $n\ge N$ que muestra que $x_n\to x$ en $X$ .
Entonces tengo algunas preguntas: ¿es correcto mi razonamiento hasta este punto? Además, ¿cómo podría demostrar que de hecho $x\in X$ ?
