Conectando números

Question

Si $(a + c)(a c) = 0$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser cierta?

1. $a = 0$ ,
2. $c = 0$ ,
3. $a = c$ ,
4. $a = c$ ,
5. $a2 = c2$

La respuesta dice: Intenta enchufar $a = 2$ y $c = 2$ . Esto elimina (A), (B) y (C). Ahora intente $a = 2$ y $c = 2$ . Esto elimina (D). Sólo queda la (E).

No entiendo cómo se eligieron los números del enchufe. ¿Podría alguien ayudar a explicar esto?

Answer 1

Al elegir $a = 2$ , $c = 2$ el autor demuestra que la ecuación puede satisfacerse cuando $a \neq 0$ desde

$$(a + c)(a - c) = (2 + 2)(2 - 2) = 4 \cdot 0 = 0$$

Por lo tanto, $a = 2$ , $c = 2$ es un contraejemplo a la afirmación de que $a = 0$ debe ser cierto. Hay otros. Por ejemplo, $a = 1$ , $c = 1$ o $a = 1$ , $c= -1$ . Sin embargo, sólo se necesita un contraejemplo para demostrar que una afirmación es falsa.

Lo que el autor afirma es que $a = 2$ , $c = 2$ es también un contraejemplo a la afirmación de que $b = 0$ debe ser cierto o que $a = -c$ debe ser verdadera para la ecuación $(a + c)(a - c) = 0$ para estar satisfechos.

Del mismo modo, si $a = 2$ y $c = -2$ entonces

$$(a + c)(a - c) = [2 + (-2)][2 - (-2)] = 0 \cdot 4 = 0$$

así que $a = 2$ , $c = -2$ es un contraejemplo a la afirmación de que $a = c$ debe ser verdadera para la ecuación $(a + c)(a - c) = 0$ para estar satisfechos. De nuevo, hay otros contraejemplos como $a = 1$ , $c = -1$ .

En cuanto a la elección restante, ya que $(a + c)(a - c) = a^2 - c^2$ , $$(a + c)(a - c) = 0 \Rightarrow a^2 - c^2 = 0 \Rightarrow a^2 = c^2$$

Answer 2

Otra forma de llegar a la misma conclusión es multiplicar la expresión: $$(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$$ por lo que si $(a+c)(a-c) = 0$ entonces también tiene $a^2 - c^2 = 0$ . Añadiendo $c^2$ a cada lado muestra que (E) es una respuesta correcta.

Esto le permite eludir las elecciones de valores ad hoc de la respuesta escrita que utilizan para eliminar las 4 primeras opciones.