Si tengo una matriz de bloques de la forma
$$ M = \begin{pmatrix} A &B \\[6pt] -B & C \end{pmatrix} $$ y si $A$ es invertible puedo escribir el determinante en términos del complemento de Schur como $$ det(M) = det(A)det(C+B A^{-1} B) $$
y como tal la ecuación característica es $$ det(M-\lambda I) = det(A-\lambda I)det(C+B(A-\lambda I)^{-1} B) = 0 $$ Si todos los bloques son matrices de Toeplitz, y distintos de cero sólo en la diagonal primaria y alrededor de ella, ¿hay alguna forma de obtener los valores propios de $M$ en términos de los valores propios de $A$ , $B$ y $C$ sin recurrir a esta ecuación característica?
Esencialmente me gustaría poner límites superiores al valor propio máximo de $M$ . Podría utilizar el teorema del círculo de Gershgorin directamente en $M$ Sin embargo, dado que, aunque los componentes del bloque de $M$ son distintos de cero sólo cerca de su diagonal primaria, lo que, por supuesto, no ocurre con $M$ mismo. Como tal, esperaría que el teorema del círculo pusiera límites bastante pobres a sus valores propios. Esperaba poder evitar esto pasando a mirar las componentes del bloque y aplicando el teorema del círculo a ellos en su lugar, ya que realmente estarán pobladas sólo cerca de sus diagonales primarias.
Se agradece cualquier ayuda/comentario.
EDIT: asumamos, si ayuda, que todos los bloques conmutan (contendrán sólo matrices diagonales de constantes y operadores de derivadas que asumiré que siempre conmutan aunque esto depende del esquema de diferencias finitas)
