Valores propios de una matriz en bloque compuesta por matrices de Toeplitz

Question

Si tengo una matriz de bloques de la forma

$$M = \begin{pmatrix} A &B \\[6pt] -B & C \end{pmatrix}$$ y si $A$ es invertible puedo escribir el determinante en términos del complemento de Schur como $$det(M) = det(A)det(C+B A^{-1} B)$$

y como tal la ecuación característica es $$det(M-\lambda I) = det(A-\lambda I)det(C+B(A-\lambda I)^{-1} B) = 0$$ Si todos los bloques son matrices de Toeplitz, y distintos de cero sólo en la diagonal primaria y alrededor de ella, ¿hay alguna forma de obtener los valores propios de $M$ en términos de los valores propios de $A$ , $B$ y $C$ sin recurrir a esta ecuación característica?

Esencialmente me gustaría poner límites superiores al valor propio máximo de $M$ . Podría utilizar el teorema del círculo de Gershgorin directamente en $M$ Sin embargo, dado que, aunque los componentes del bloque de $M$ son distintos de cero sólo cerca de su diagonal primaria, lo que, por supuesto, no ocurre con $M$ mismo. Como tal, esperaría que el teorema del círculo pusiera límites bastante pobres a sus valores propios. Esperaba poder evitar esto pasando a mirar las componentes del bloque y aplicando el teorema del círculo a ellos en su lugar, ya que realmente estarán pobladas sólo cerca de sus diagonales primarias.

Se agradece cualquier ayuda/comentario.

EDIT: asumamos, si ayuda, que todos los bloques conmutan (contendrán sólo matrices diagonales de constantes y operadores de derivadas que asumiré que siempre conmutan aunque esto depende del esquema de diferencias finitas)

Answer 1

Introducir el operador de proyección $P$ tal que $A=PMP$ , $Q=1-P$ y $C=QMQ$ . A continuación, consideremos el operador de autoenergía $\Sigma_P(E)=PMQ(E-QMQ)^{-1}QMP$ El mapa $M\rightarrow PMP+\Sigma_P(E)$ relaciona el problema de valores propios en el espacio completo con el de su subespacio.

$[M-\lambda I]V=0 \leftrightarrow [PMP+\Sigma_P(\lambda)-\lambda PIP]PV=0$ o, de forma equivalente, hay que resolver el problema no lineal de valores propios $[A-B(\lambda-C)^{-1}B-\lambda PIP]PV=0$