Este problema apareció en un examen de calificación anterior y he tenido problemas al intentar resolverlo.
Dejemos que $(X,\cal{M},\mu)$ sea un espacio de medida positiva. Sea $p,q\in(1,\infty)$ satisfacer $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ . Sea $(g_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sea una secuencia en $L^p(\mu)$ . Demuestra que las siguientes son equivalentes:
(1) Para cualquier $f\in L^q(\mu)$ tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty \left|\int_X g_n(x)f(x)\,d\mu\right|<\infty. $$
(2) Existe $M\in[0,\infty)$ tal que para cualquier secuencia $(\epsilon_k)_{k=1}^n$ en $\mathbb{C}$ con $|\epsilon_k|=1$ , $k=1,\dots,n$ tenemos $$ \left\|\sum_{k=1}^n \epsilon_k g_k \right\|_p \leq M. $$
Mis pensamientos: Debo pensar que este $n$ en condiciones $(2)$ es arbitraria, lo que significa que podemos tomar tantos números de norma unitaria como queramos y la condición en $(2)$ se satisface.
La mayor parte de mi progreso está en la dirección $(1) \implies (2)$ . Condición $(1)$ me grita el principio de limitación uniforme. Usando el isomorfismo $L^p \simeq (L^q)^*$ La declaración en $(1)$ podría ser refundido como $$ \sum_n |\Lambda_n(f)| < \infty, \quad \forall f \in L^q, $$ donde $\Lambda_n(f) = \int g_n f \,d\mu$ es la correspondiente función lineal acotada a $g_n$ . A continuación, quiero considerar los funcionales $$ T_n: L^q \to \mathbb{C}, \quad T_n(f) = \sum_{k=1}^n \Lambda_k(f). $$ Dado que $(T_n(f))_{n\in \mathbb{N}}$ es una secuencia convergente en $\mathbb{C}$ para cada $f \in L^q$ esta secuencia está acotada en $\mathbb{C}$ . Entonces, la acotación uniforme debe implicar que $$ \sup_n ||T_n||_{(L^q)^*}<\infty. $$ En otras palabras, existe $M<\infty$ tal que $$ \left\|\sum_{k=1}^n \Lambda_k \right\|_{(L^q)^*} \leq M. $$ El isomorfismo debería implicar que $$ \left\|\sum_{k=1}^n g_k\right\|_p \leq M $$ también. Pero no veo cómo conseguir el límite anterior cuando pongo $\epsilon_k$ al lado de cada $g_k$ . ¿Quizás alguna forma de Cauchy-Schwarz?
Tengo ideas para la otra dirección, pero nada ha cuajado. Tomo nota de que para $f\in L^q$ la desigualdad de Holder da $$ \left |\int f g_n \,d\mu \right|\leq \|f\|_q \|g_n\|_p, $$ así que $$ \sum_n \left|\int_X f g_n \,d\mu\right| \leq \|f\|_q \sum_n \|g_n\|_q. $$ Si puedo utilizar la declaración en $(2)$ para demostrar la sumabilidad de la serie de la derecha, habría terminado.
¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre cómo hacer el acabado de cualquiera de estas direcciones?
