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Hace $f''(0)$ existe si $f$ es una función diferenciable de valor real en $(−1,1)$ donde $\frac{f(x)}{x^2}$ tiene un límite finito como $x\to 0$ ?

Dejemos que $f$ sea una función diferenciable de valor real sobre $(1,1)$ tal que $\dfrac{f(x)}{x^2}$ tiene un límite finito como $x\rightarrow0$ . ¿Se deduce que $f''(0)$ existe? Dé una prueba o un contraejemplo.

He pensado en la función $f(x)=x|x|$ . ¿Está bien?

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J.Doe Puntos 31

Contraejemplo:

$$ f(x) = \begin{cases} x^{3}\sin{\frac{1}{x}} & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$$ Aquí $$f'(x)=3x^{2}\sin{\frac{1}{x}}-x\cos{\frac{1}{x}}$$ Por lo tanto, de la definición de derivada, se deduce que $f'(0)=0$ . Ahora es fácil ver que $f''(0)$ no existen.

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