La reducibilidad de un polinomio $x^2+ax-a+2a^2$

Question

Elemento $a$ genera un grupo multiplicativo de un campo F de $343$ elementos. ¿Es el polinomio $x^2+ax-a+2a^2$ irreducible en el anillo polinómico $F[x]$ ?

Según tengo entendido, $F[x]$ es el anillo de todos los polinomios que pueden ser generados por el coeficiente de $F$ . ¿Cómo puedo entonces comprobar la reducibilidad de un polinomio $p(x)$ en $F[x]$ ? ¿Debo tratar de descomponerlo en el $p(x)=g(x)*h(x)$ donde "=" significa igualdad módulo 343?

Answer 1

Podemos comprobar que $$ {\bf f }(x)=(x^2+ax+2a^2)-a=2\, \left( a+2\,x \right) ^{2}-a $$ Supongamos que existe un $x \in\operatorname{GF}(7^3)$ tal que ${\bf f}(x)=0$ , lo que da lugar a $$ 2\, \left( a+2\,x \right) ^{2}=a \Rightarrow \left( a+2\,x \right) ^{2}=4\, a $$ El resto de la prueba es la misma que la bonita prueba que da @lhf.