Considere la superficie $S$ dado por el parche $$\sigma (u, v) = (u, v, 0)$$ y los puntos $$p(0, 0, 0),\ q(1, 1, 0) \in S.$$ Elija las bases para $T_pS$ y $T_qS$ y escribir la matriz del mapa de transporte paralelo $P_{\gamma_{p,q}}$ donde $\gamma(t) = (t, t, 0)$ .
Respuesta
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La superficie que tienes es sólo un plano. En ese caso, el transporte paralelo es simplemente una traslación a la antigua, es decir, para transportar en paralelo un vector lo deslizas por el plano mientras lo mantienes paralelo y apuntando en la misma dirección que el original.
Por lo tanto, la matriz sería la matriz identidad de dos por dos.
Las matrices de transporte paralelo, también llamadas grupo de holonomía, dan una idea de la curvatura de un espacio. Como el plano es simplemente conectado y, en un sentido específico, "plano"; las matrices de transporte paralelo son las matrices de identidad y el grupo de holonomía es el grupo trivial.
