¿Cómo saber si una ecuación diferencial es homogénea o no homogénea?

Question

A veces me pasa que intento resolver una ecuación diferencial lineal durante mucho tiempo y al final resulta que no es homogénea en primer lugar.

¿Hay alguna manera de ver directamente que una ecuación diferencial no es homogénea?

Por favor, dime.

Answer 1

Creo que una ecuación diferencial es homogénea si cada término contiene y o derivadas de y en la ecuación

Answer 2

Si te dan una EDO que diga $f(x,y)=x^2-3xy+5y^2$ y te piden mostrar si es homogénea o no, así es como se hace

Si una función $f$ tiene la propiedad de que $f(tx,ty)=t^nf(x,y)$ entonces la función es homogénea de grado n... para demostrar si la EDO anterior es homogénea, así es como se hace \begin{align*} f(x,y)&=x^2-3xy+5y^2\\ f(tx,ty)&=(tx)^2-3(tx)(ty)+5(ty)^2\\ &=t^2x^2-3t^2xy+5t^2y^2\text{ si factorizamos $t^2$ obtenemos}\\ &=t^2[x^2-3xy+5y^2]\\ &=t^2f(x,y) \end{align*} por lo tanto, la función es homogénea de grado $n$

Answer 3

Las ecuaciones en la forma $f(xy)$ se pueden considerar homogéneas también si se pueden poner en la forma $dy/dx =f(y/x)$ o en otros casos $f(x,y )=x^n g(y/x)$