¿Cómo saber si una ecuación diferencial es homogénea o no homogénea?

Question

A veces me pasa que intento resolver una ecuación diferencial lineal durante mucho tiempo y al final resulta que no es homogénea en primer lugar.

¿Hay alguna manera de ver directamente que una ecuación diferencial no es homogénea?

Por favor, dime.

Answer 1

Para una ecuación diferencial lineal $$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x),$$ decimos que es homogénea si y solo si $g(x)\equiv 0$. Puedes escribir muchos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales para verificar si son homogéneas o no. Por ejemplo, $y''\sin x+y\cos x=y'$ es homogénea, pero $y''\sin x+y\tan x+x=0$ no lo es, y así sucesivamente. Siempre y cuando puedas escribir la ecuación diferencial lineal en la forma anterior, podrás decir cuál es $g(x)$ y podrás determinar si es homogénea o no.

Answer 2

La prueba más simple de homogeneidad, y definición al mismo tiempo, no solo para ecuaciones diferenciales, es la siguiente:

Una ecuación es homogénea si cada vez que $\varphi$ es solución y $\lambda$ es escalar, entonces $\lambda\varphi$ también es solución.

Answer 3

Una ecuación diferencial homogénea tiene el mismo exponente de $X$ y $Y$ ejemplo: $-x+y dy/dx= 2y$

$X+y$ tiene un exponente de $1$ y $2y$ tiene un exponente de $1$, por lo que es una ecuación homogénea.

Answer 4

La mejor y la forma más simple de comprobar la homogeneidad de una ecuación diferencial es la siguiente:--> La fórmula es $$\frac{dy}{dx}=F(x,y)$$ tal que $$F(x,y)=F(tx,ty)$$ para "t" siendo una constante arbitraria, entonces $$\frac{dy}{dx}$$ es homogénea.

Tomemos por ejemplo que tenemos que resolver $$\frac{dy}{dx}=\frac{y+ (x^2+y^2)^\frac12}{x}$$

1. Pon $x=tx$ y $y=ty$ donde t es una constante arbitraria.

2. Ahora del numerador y denominador toma la constante como común con la mayor potencia posible de ambos numerador y denominador cada uno.

3. Si la constante se cancela a lo largo y obtenemos la misma ecuación nuevamente, entonces esa ecuación diferencial en particular es homogénea y el grado de homogeneidad de esa ecuación es la potencia de la constante que permanece después de reducirla al grado más bajo. ¡Espero que esto haya ayudado!

Answer 5

Cualquier función como Y y sus derivadas se encuentran en la DE entonces esta ecuación es homogénea

por ejemplo y"+5y´+6y=0 es una ecuación de DE homogénea

Pero y"+xy+x´=0 es una ecuación no homogénea porque la función X no es una función en Y o en sus derivadas