Si $V$ es un $n$ -espacio vectorial de dimensiones, $V= \operatorname{span}(W)$ y $|W|=n$ entonces $W$ es una base para $V$

Question

Si $V$ es un $n$ -espacio vectorial de dimensiones, $V= \operatorname{span}(W)$ y $W=\{w_1,...,w_n\}$ entonces $W$ es una base para $V$ .

Desde $V= \operatorname{span}(W)$ con el fin de demostrar $W$ es una base para $V$ lo único que queda por demostrar es que $W$ es linealmente independiente, decidí proceder por contradicción:

Supuse que $W$ es linealmente dependiente, por lo que $\exists w_i \in W$ tal que $w_i \in \operatorname{span}(W\setminus \{w_i\})$ porque $W$ abarca $V$ entonces también lo hace $W\setminus \{w_i\}$ . Por lo tanto, existe un subconjunto $S$ de $W\setminus \{w_i\}$ que es una base para $V$ (Ya he demostrado esta propiedad, por lo que puedo utilizarla en conciencia).

Ahora, porque $S \subset W\setminus \{w_i\}$ y $|W\setminus \{w_i\}|=n-1$ entonces $|S|\leq n-1$ entonces, porque S es una base para V, $\dim(V)\leq n-1$ y ahí está mi contradicción.

Me preguntaba si tal vez hay una manera más fácil de probar esta propiedad, o si he cometido un error en alguna parte del camino.

Answer 1

Tu respuesta parece correcta, pero has tomado el camino más largo. Un argumento más directo es el siguiente (misma idea que la de Arturo):

Dado que el grupo electrógeno $W$ debe contener una base, y $W$ tiene $n$ elementos, entonces $W$ ya forma una base, ya que todas las bases tienen la misma cardinalidad $n$ (la dimensión se define precisamente como la cardinalidad de cualquier base).

PS. Una base no es un mero conjunto de vectores sino un pedido secuencia (o conjunto). El orden es importante.