similitud de definición positiva

Question

¿Se aplica el concepto de similitud matricial a la condición < Xv,v >?

En otras palabras, si una matriz real cuadrada no simétrica X es similar a una matriz simétrica definida positiva, ¿tenemos < Xv,v > > 0 para todo vector v no nulo?

Creo que es una pregunta trivial, pero estoy un poco confundido con el concepto de similitud de la matriz.

Muchas gracias.

Answer 1

No. Si una matriz $A$ es similar a una matriz SPD $B$ Esto no significa, por lo general, que $x^TAx>0$ para el caso de que sea distinto de cero tous $x\neq 0$ (bueno, obviamente sí para algunos, concretamente los vectores propios).

Considere un ejemplo sencillo: $$ A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}. $$ La matriz $A$ es claramente similar a una matriz SPD (una diagonal con entradas diagonales positivas), pero $$ x^TAx=-2<0 \quad\text{for}\quad x=[1,1]^T. $$

Answer 2

Similitud de la matriz es un relación de equivalencia entre matrices en el mismo espacio.

A similitud (una forma de verlo) transforma un vector $\vec{x}$ representado en los vectores base de la matriz $A$ a un vector $\vec{y}$ representado a los vectores base de la matriz $B$ de tal manera que el producto interno (o norma) permanezca igual.

es decir $$<\vec{x}, A\vec{x}> = <B\vec{y}, \vec{y}>$$ (para una transformación de similitud por un matriz ortogonal )

Sea Q una matriz ortogonal (es decir $Q^{-1} = Q^T$ ) y que $\vec{x} = Q\vec{y}$ Entonces:

$$ x^TAx = (Qy)^T A (Qy) = y^T Q^TAQy = y^TQ^{-1}AQy = y^TBy$$

Lo que esto significa intuitivamente es que, en general, para cualquier transformada de similitud que sea una isometría ambos mantienen el producto interno del espacio (en un espacio normado).

Para una investigación y resultados sobre las transformaciones generales (de similitud) que preservan la definición positiva, consulte esto Documento arxiv

Answer 3

La respuesta de Nikos M. puede generalizarse como sigue:

Dejemos que $A\geq 0$ es decir $\langle x|A|x\rangle \geq 0$ para todos $|x\rangle$ y que $B$ sea arbitraria. Entonces tenemos $B^\dagger A B\geq 0$ :

Dejemos que $|x\rangle$ sea arbitraria, y defina $|y\rangle = B|x\rangle$ . Entonces

$$\langle x| B^\dagger A B |x\rangle = (B|x\rangle)^\dagger A (B|x\rangle) = \langle y|A|y\rangle \geq 0$$

por la suposición de que $A\geq 0$ .

En particular, si $A$ es positivo y $H$ es hermético, entonces $HAH$ es positivo.

(Espero que te parezca bien la notación bra-ket...)