$\pi(x)\geqslant\frac{\log x}{2\log2}$ para todos $x\geqslant2.$

Question

Dejemos que $\pi$ sea el función de recuento de primas . Entonces

$\pi(x)\geqslant\log x/(2\log2)$ para todos $x\geqslant2.$

Tal vez se me escapa algo bastante evidente, pero, hasta ahora, he comprobado que $\pi(x)\geqslant\log{\lfloor x\rfloor}/(2\log2)$ utilizando un método que Paul Erdos utilizó para demostrar que hay infinitos primos, sin embargo, no sé cómo demostrar la desigualdad original.

Cualquier ayuda es realmente apreciada!.

Answer 1

Tome la primera $j$ primos $2,3,\dots,p_{j}$ y definir $N\left(x\right)=\left|\left\{ n\leq x:\, p\nmid n\,\forall p>p_{j}\right\} \right|$ . Si escribimos un $n$ en la forma $$n=n_{1}^{2}m$$ con $m$ un número libre de cuadrados, tenemos $$m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}\cdots p_{j}^{a_{j}}$$ donde $a_{i}\in\left\{ 0,1\right\},\,i=1,\dots,j $ . Así que tenemos $2^{j}$ posible elección de los exponentes y así de diferentes $m$ y $n_{1}\leq\sqrt{n}\leq\sqrt{x}$ , entonces no tenemos más que $\sqrt{x}$ elección de $n$ . Así que $$N\left(x\right)\leq2^{j}\sqrt{x}.\tag{1}$$ Ahora toma $j=\pi\left(x\right)$ entonces $N\left(x\right)=x$ y, por $(1)$ , $$x\leq2^{\pi\left(x\right)}\sqrt{x}\Rightarrow\pi\left(x\right)\geq\frac{\log\left(x\right)}{2\log\left(2\right)}.$$ Esto también demuestra el límite $$\pi\left(2^{n}\right)\geq\frac{n}{2}$$ y creo que es la forma "sencilla" en que el comentarista de Thomas Andwes pregunta hablando de. (Puedes encontrar esta prueba en G. H. Hardy y E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition, Oxford Science Publications, 1996, p.16-17)