Problema del argumento de los números complejos

Question

¿Cuál sería el argumento de $z$ si $z=2016-2016i$ ?

$i$ es iota. Mi intento. El argumento de $2016$ debe ser $zero$ ya que se encuentra en el eje x positivo del plano de argand. Y el argumento de $2016i$ debe ser $0$ - $pi/2$ = $pi/2$ ya que se encuentra en el eje Y positivo del plano de Argand. Por último, el argumento de $z$ debe ser - $pi/2$ .

Pero la respuesta mostrada es - $pi/4$ ¿Sólo el error de imprenta o me estoy perdiendo un concepto? Me encantaría aprender cualquier concepto relacionado con ello.

Answer 1

¡Los argumentos no se suman! ¿De dónde sacaste la idea de que $$\arg(z)+\arg(w)=\arg(z+w)?!$$ Si esto fuera cierto, cada número complejo tendría un argumento de $0$ , $\pi/2$ o $-\pi/2$ ya que, por ejemplo, $1+4i$ debe tener un argumento de $0$ (el argumento de $1$ ) y además $\pi/2$ (argumento de $4i$ ), cuya suma asciende a $\pi/2$ .

Le sugiero encarecidamente que vuelva a leer el capítulo sobre los argumentos.

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El argumento de un número es el ángulo entre el eje real y el número, así que puedes (dibujando) ver rápidamente que el tan del argumento es simplemente la parte imaginaria, dividida por la parte real.

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Vale, me he precipitado al decir que "los argumentos no se suman". De hecho, lo hacen, pero no al sumar números. Se suman cuando se multiplican números, así que la ecuación correcta sería

$$\arg(z)+\arg(w)=\arg(z\cdot w)$$

Answer 2

El argumento $\theta$ de un número complejo $z=a+bi$ viene dada por $\theta=\arctan({\frac ba})$ . Sin embargo, como ocurre con las funciones trigonométricas, ésta puede tener infinitos valores, dos de los cuales satisfacen el dominio $\theta \in (-\pi,\pi]$ Así que debes asegurarte de que eliges el que es apropiado para el cuadrante en el que se encuentra el número complejo.

En este caso, $$\arg{(z)}=\arctan({\frac{-2016}{2016}})=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}$$ comme $\theta$ está en el cuarto cuadrante.

Answer 3

Trata los términos 2016 y 2016i como vectores, ahora ves que es algo en el II cuadrante a $45^\circ$ ? No se pueden añadir argumentos como escalares.