¿Cuál es la mejor manera de interpretar $\Re(\int f dz)= \int Pdx+Qdy$

Question

Qué manera es mejor de interpretar/"pensar";

$\Re(\int f dz) = \int Pdx+Qdy$

Es decir, la parte real de una función de valor complejo $f$ a lo largo de una curva en $\mathbb{C}$ y la igualdad con su integral de línea "correspondiente" en $\mathbb{R^{2}}$ .

No sé el tiempo sólo para escribir $f=P-iQ$ (corregido después de la respuesta) y considerar la medida compleja $d(x+iy)$ o empezar a trastear con los vectores y el producto escalar. Ni siquiera estoy seguro de que la primera manera es vaild, parece demasiado fácil.

Answer 1

Escribe $f$ en términos de sus partes real e imaginaria como $f=u+iv$ y se dan cuenta de que $dz=dx+idy$ (donde $z=x+iy$ ). Entonces $$ \int f(z)dz=\int (u+iv)(dx+idy)=\int (udx-vdy)+i\int(udy+vdx). $$

Answer 2

Si lo escribes así, en realidad es $f=P-iQ$ y $dz=dx+ i dy$ . Entonces $$ \int f dz = \int (P dx + Q dy) + i\int ( P dy - Q dx) $$ Debe interpretar la integral como una integral de trayectoria, por ejemplo, si $z(t)=x(t)+iy(t)$ para alguna pieza $C^1$ funciones $x(t)$ y $y(t)$ por ejemplo $t\in [a,b]$ . Entonces $$ \int f dz = \int_a^b (P(x,y) \frac{dx}{dt} + Q(x,y) \frac{dy}{dt}) dt + i\int_a^b ( P(x,y) \frac{dy}{dt} - Q(x,y) \frac{dx}{dt}) dt$$