Encontrando $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ para una secuencia definida recursivamente $(a_n)$ con $a_{n}=\frac13(a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-1}a_{n-2})$

Question

Pregunta.

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia compleja definida recursivamente: $$ a_0 = 0,\quad a_1=1, \quad a_{n}=\frac13(a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-1}a_{n-2})\quad (n>1) $$ ¿Qué es? $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ ?

Observaciones.

Esta pregunta está motivada por una pregunta sin respuesta en el sitio que no soy capaz de resolver. Por el Teorema de Cauchy-Hadamard el problema de encontrar el radio de convergencia de la serie de potencias $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ se reduce al problema del límite anterior. Probablemente se puede encontrar alguna otra forma de calcular el radio de convergencia, pero me gustaría centrarme en Cauchy-Hadamard y, por tanto, en particular en el límite de la pregunta.

Un intento directo es encontrar un forma cerrada fórmula para la secuencia de modo que uno pueda aplicar técnicas asintóticas para analizar $|a_n|^{1/n}$ . Aunque hay formas sistemáticas de manejar el recurrencia lineal No sé cómo manejar este caso particular no lineal. La idea habitual de "linealizar el problema no lineal" no parece útil en este caso.

Con la ayuda del breve script de Python script, he trazado la secuencia $(|a_n|^{1/n})$ . El resultado parece sugerir que el límite es $1$ .

Answer 1

Una pista:

$$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac13\Big(1+\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}+a_{n-2}\Big)$$

Demostrar que $a_n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$ y deducir que $x_n:=\frac{a_n}{a_{n-1}}$ converge a algún $x>0$ satisfaciendo $$x=\frac{1}{3}\Big(1+\frac{1}{x}\Big)$$

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Recordemos que $$\liminf_n\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\leq\liminf_n\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_n\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_n\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$$

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Otro enfoque, es considerar el sistema dinámico discreto en $\mathbb{R}^2$ dado como \begin{align} \boldsymbol{x}_{n+1}&=G(\boldsymbol{x}_n)\\ \boldsymbol{x}_0 &= \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} \end{align} donde $$ G(x,y)=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac13 & \frac13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \frac13\begin{pmatrix} 0\\ xy \end{pmatrix} $$ Los valores propios de la parte lineal de $G$ alrededor del punto crítico $\boldsymbol{x}^*=[0\;0]^\intercal$ son $\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}$ .

A partir de esto, se puede demostrar que con las condiciones iniciales cerrado suficiente para $\boldsymbol{x}^*$ , $\boldsymbol{x}_n$ converge a $\boldsymbol{x^*}$ exponencialmente rápido (el tasa de convergencia siendo $\frac{1+\sqrt{13}}{6}$ que resulta ser $\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}$ donde $\boldsymbol{x}_n:=[a_{n-1}\,a_n]^\intercal $ .

Answer 2

Por fin he averiguado los detalles para seguir la pista de Oliver y me gustaría escribir aquí una respuesta.

Los dos pasos esenciales son demostrar que las secuencias $(a_n)$ et $(\frac{a_n}{a_{n-1}})$ son ambos convergentes. Estos dos pasos no son triviales (!) y se responden en los dos siguientes posts de seguimiento:

• Convergencia de una secuencia de números complejos definida recursivamente: $3z_{n}=z_{n-1}+z_{n-2}+z_{n-1}z_{n-2}$
• Encontrando $\lim_{n\to\infty} \frac{z_{n}}{z_{n-1}}$ donde $3z_{n}=z_{n-1}+z_{n-2}+z_{n-1}z_{n-2}$

De ello se desprende, mediante cálculos sencillos, que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = \frac16(1+\sqrt{13}). $$

En consecuencia, por un teorema bien conocido (véase, por ejemplo, el de Rudin Principio de análisis matemático ) que compara la prueba de ratio y de raíz: $$ \liminf _{n} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|} \leq \liminf _{n} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \lim _{n} \sup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \limsup _{n} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|} $$ se obtiene el resultado deseado.

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Observación.

Es importante saber que, en Python, se necesita un buen algoritmo para calcular el $n$ -th raíz para muy grande $n$ . En el intento original mencionado en el post, el número total de iteraciones se tomó demasiado grande que la trama no es realmente exacta porque a**(1/n) se utilizó en el código para encontrar el $n$ -en la raíz. Sin embargo, si sólo se itera 100 veces, se obtiene $b_{100}\approx 0.76759187924+\pm 10^{-11}$ que es un valor aproximado de $\frac{1}{6}(1+\sqrt{13})$ .