¿Cómo puedo simplificar esta ecuación?

Question

Cómo puedo simplificar esta ecuación : $$P=s^{T}_1A^{-1}y-\frac{1}{2}s^{T}_1A^{-1}s_1-s^{T}_0A^{-1}y+\frac{1}{2}s^{T}_0A^{-1}s_0 \tag1$$ como la siguiente ecuación: $$P=(s_1-s_0)^TA^{-1}\left(y-\frac{s_0+s_1}{2}\right).\tag2$$

donde T es el signo de transposición, $s_1,s_0,y$ son vectores y A es una matriz definida positiva.

Answer 1

Tenemos (como positivo definido significa también simétrico, que $s_0^tA^{-1}s_1 = s_1^tA^{-1}s_0$ ): \begin{align*} (s_1 - s_0)^tA^{-1}\left(y - \frac{s_0+s_1}2\right) &= s_1^tA^{-1}y - s_0^tA^{-1}y - \frac 12 s_1^tA^{-1}s_0 + \frac 12 s_0^tA^{-1}s_0 - \frac 12 s_1^tA^{-1}s_1 + \frac 12 s_0^tA^{-1}s_1\\ &= s_1^tA^{-1}y - \frac 12 s_1^tA^{-1}s_1 - s_0^tA^{-1}y + \frac 12s_0^tA^{-1}s_0\\ &= P \end{align*}