Bastante básico: determinar la intersección.

Question

Tengo que hacer los siguientes problemas, sin embargo mi pregunta es básicamente: ¿Cómo se interpretarían estos problemas? Al principio pensé que podría ser algo así (para el problema 1.A)

Que dice:

Determinar el punto de intersección de las gráficas de cada sistema

El primer problema dice:

x + y = 10

x - y = 2

Así que decidí resolverlo. Por lo tanto.

x *must* equal 6
y *must* equal 4

¿Estoy cerca?

Answer 1

Su respuesta es correcta; puede comprobarlo sustituyendo sus valores por $x$ et $y$ en las dos ecuaciones y ver que efectivamente ambas se satisfacen.

No sé cómo lo conseguiste $-$ posiblemente por inspección, ya que estos números son fáciles de trabajar $-$ pero aquí está quizás el enfoque sistemático más fácil. Si se suman las dos ecuaciones, se obtiene $$(x+y)+(x-y)=12$ o $2x=12$ y dividiendo ambos lados por $2$ inmediatamente le dice que $x=6$ . Una vez que tengas eso, puedes sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar $y$ : $6+y=10$ Así que $y=10-6=4$ o $6-y=2$ Así que $6=y+2$ , $4=y$ .

Answer 2

Los gráficos de $x+y=10$ et $x-y=2$ son líneas rectas en el $x,y$ plano. Por su interesección, entendemos el punto $P=(x,y)$ donde las ecuaciones $x+y=10$ et $x-y=2$ se satisfacen simultáneamente.

Lo que queremos en este caso es que $x+y-10=0$ y que $x-y-2=0$ . Esto significa que queremos que

$$x+y-10=x-y-2$$

$$y-10=-y-2$$

$$2y=8$$

$$y=4$$

Sustituyendo $y=4$ en cualquiera de nuestras ecuaciones originales obtenemos que $x=6$ . En general, el sistema $$S:\begin{cases} ax+by+c=0 \cr dx+ey+f=0 \end{cases}$$

tiene una solución única $P=(X,Y)$ si y sólo si $$\frac{a}{b} - \frac{d}{e} \ne 0$$ que simplemente afirma que las rectas no son paralelas: La pendiente de la primera línea es $-a/b$ y que si el otro es $-d/e$ por lo que queremos

$$\eqalign{ & - \frac{a}{b} - \left( { - \frac{d}{e}} \right) \ne 0 \cr & - \frac{a}{b} + \frac{d}{e} \ne 0 \cr & \frac{a}{b} - \frac{d}{e} \ne 0 \cr} $$

Lo entenderás desde un punto de vista algebraico, más que geométrico, cuando leas sobre los determinantes. Si $$\frac{a}{b} - \frac{d}{e}=0$$

Entonces $$ \left(\begin{matrix} a & b \\ d & e \end{matrix}\right)$$

no tiene inversa, por lo que la ecuación matricial

$$ \left(\begin{matrix} a & b \\ d & e \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} c \\ f \end{matrix}\right) $$

no tiene solución.