Cómo demostrar que $\mu=\delta$ ?

Question

Dejemos que $I$ sea un intervalo de $\mathbb R$ et $\mu $ una medida finita positiva de Borel sobre $\mathbb R$ . Me gustaría saber por qué, si $$\int_{I} |t-s|^2 d\mu(t) = 0, \quad \forall s\in I,$$ entonces $\mu = c\, \delta $ para algunos $c\in \mathbb R$ donde aquí, $\delta$ es la medida de Dirac.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $I=[a,b]$ y para simplificar $s\in(a,b)$ . Sea $\epsilon>0$ sea tal que $(s-\epsilon,s+\epsilon)\subset(a,b)$ . Entonces \begin{eqnarray} 0=\int_I|t-s|^2d\mu(t)&=&\int_{[a,\,s-\epsilon]}|t-s|^2d\mu(t)+\int_{[s-\epsilon,\,s+\epsilon]}|t-s|^2d\mu(t)+\int_{[s+\epsilon,\,b]}|t-s|^2d\mu(t)\\ &\ge&\int_{[a,\,s-\epsilon]}|t-s|^2d\mu(t)\\ &\ge&\epsilon^2\int_{[a,\,s-\epsilon]}d\mu(t)\\ &\ge&0 \end{eqnarray} de donde se obtiene que $\mu([a,\,s-\epsilon])=0$ . Del mismo modo, $\mu([s+\epsilon,\,b])=0$ . A partir de esto, es fácil derivar $$\mu([a,s))=0,\mu((s,b])=0$$ Dejemos que $\mu(\{s\})=c\ge0$ . Entonces $\mu=c\delta(s)$ .