Propiedad del homomorfismo de anillo

Question

Dejemos que $f:RR$ sea un homomorfismo de anillo con ker $f$ no es igual a $R$ . $R$ es un dominio integral con unidad $1$ y $R$ es un anillo con unidad $1$ . Prueba $f(1)=1$ .

Answer 1

Tome cualquier $u\in R\setminus \mbox{Ker}f$ entonces $f(u) = f(1\cdot u ) = f(1) \cdot f(u) $ por lo que $$0=f(u)-f(1) \cdot f(u) = f(u) (1' -f(1))$$ y como $R'$ es el dominio integral y $f(u)\neq 0$ obtenemos que $$1'-f(1) =0.$$