¿Son cocartesianos los cuadrados conmutativos que inducen iso en los cokernels?

Question

¿La inversa de esta pregunta ¿es cierto? Explícitamente, ¿es un cuadrado conmutativo $$\begin{matrix} A & \stackrel a \to & X\\\llap{\scriptstyle a'}\downarrow&&\downarrow\rlap{\scriptstyle b'}\\Y & \stackrel b \to & B \end{matrix}$$ cocartesiano si los mapas inducidos $\operatorname{coker}a \to \operatorname{coker}b$ y $\operatorname{coker}a' \to\operatorname{coker}b'$ son isomorfismos?

En realidad, no veo ninguna razón por la que esto deba ser cierto, pero tal vez alguien tenga un buen contraejemplo y/o pueda elaborar el problema.

Answer 1

He aquí un ejemplo: en el diagrama siguiente, las flechas superior e izquierda envían $1 \mapsto 1$ entonces todos los cokernels son $0$ , pero el empuje $\mathbb{Z}/2 \sqcup_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2$ es $\mathbb{Z}/2$ . $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} \mathbb{Z} @>>> \mathbb{Z}/2 \\ @VVV @VVV\\ \mathbb{Z}/2 @>>> 0 \end{CD}$$